Давайте разберем функцию ( f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 5} ) по частям.
а. Область определения функции
Функция под корнем должна быть неотрицательной:
[
-x^2 + 6x - 5 \geq 0
]
Решим неравенство. Для начала найдем корни квадратного уравнения:
[
-x^2 + 6x - 5 = 0
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
x^2 - 6x + 5 = 0
]
Используя формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16
]
Теперь найдем корни:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{2} = { 5, 1 }
]
Теперь, чтобы найти область определения, необходимо изучить знак функции ( -x^2 + 6x - 5 ). Это парабола, открывающаяся вниз (поскольку коэффициент при ( x^2 ) отрицательный), достигает максимума в середине между корнями.
Середина между корнями:
[
x = \frac{1 + 5}{2} = 3
]
Значит, функция ( -x^2 + 6x - 5 ) будет неотрицательной на промежутке от 1 до 5:
[
1 \leq x \leq 5
]
Таким образом, область определения функции:
[
D_f = [1, 5]
]
б. Промежутки возрастания и убывания функции
Чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает или убывает, найдем производную.
[
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \cdot (-2x + 6) = \frac{-x + 3}{\sqrt{-x^2 + 6x - 5}}
]
Функция будет возрастать, когда ( f'(x) > 0 ) и убывать, когда ( f'(x) < 0 ).
Решим неравенство ( -x + 3 > 0 ):
[
x < 3
]
На промежутке ( [1, 5] ):
- ( f ) возрастает на интервале ( [1, 3) )
- ( f ) убывает на интервале ( (3, 5] )
в. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке от -4 до -1
Поскольку область определения ( [1, 5] ), то на заданном отрезке ( [-4, -1] ) функция не определена. Это значит, что на этом отрезке функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения, поскольку значения функции на этом отрезке не вычисляются.
Таким образом, итоговые ответы:
а. Область определения: ( D_f = [1, 5] )
б. Промежутки возрастания: ( [1, 3) ); Промежутки убывания: ( (3, 5] )
в. На отрезке от -4 до -1 функция не определена.
