дана функция f(x)= √(-x²+6x-5) найдите а. область определения функции б. промежутки возрастания и убывания функции в. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке от -4 до…

Давайте разберем функцию \( f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 5} \) по частям.

а. Область определения функции

Функция под корнем должна быть неотрицательной:

\[ -x^2 + 6x - 5 \geq 0 \]

Решим неравенство. Для начала найдем корни квадратного уравнения:

\[ -x^2 + 6x - 5 = 0 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]

Используя формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]

Теперь найдем корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{2} = \{ 5, 1 \} \]

Теперь, чтобы найти область определения, необходимо изучить знак функции \( -x^2 + 6x - 5 \). Это парабола, открывающаяся вниз (поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), достигает максимума в середине между корнями.

Середина между корнями:

\[ x = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

Значит, функция \( -x^2 + 6x - 5 \) будет неотрицательной на промежутке от 1 до 5:

\[ 1 \leq x \leq 5 \]

Таким образом, область определения функции:

\[ D_f = [1, 5] \]

б. Промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает или убывает, найдем производную.

\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \cdot (-2x + 6) = \frac{-x + 3}{\sqrt{-x^2 + 6x - 5}} \]

Функция будет возрастать, когда \( f'(x) > 0 \) и убывать, когда \( f'(x) < 0 \).

Решим неравенство \( -x + 3 > 0 \):

\[ x < 3 \]

На промежутке \( [1, 5] \):

• \( f \) возрастает на интервале \( [1, 3) \)
• \( f \) убывает на интервале \( (3, 5] \)

в. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке от -4 до -1

Поскольку область определения \( [1, 5] \), то на заданном отрезке \( [-4, -1] \) функция не определена. Это значит, что на этом отрезке функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения, поскольку значения функции на этом отрезке не вычисляются.

Таким образом, итоговые ответы:

а. Область определения: \( D_f = [1, 5] \)

б. Промежутки возрастания: \( [1, 3) \); Промежутки убывания: \( (3, 5] \)

в. На отрезке от -4 до -1 функция не определена.