Чтобы найти сумму дробей (-16 + \frac{7x}{(x-4)^2} + \frac{x - x^2}{(4-x)^2}), сначала упростим выражение.
Обратите внимание, что ((4 - x)^2 = (-(x - 4))^2 = (x - 4)^2). Таким образом, обе дроби имеют одинаковый знаменатель:
[
\frac{7x}{(x-4)^2} + \frac{x - x^2}{(4-x)^2} = \frac{7x + (x - x^2)}{(x-4)^2} = \frac{7x + x - x^2}{(x-4)^2} = \frac{8x - x^2}{(x-4)^2}
]
Теперь, упрощая дробь (\frac{8x - x^2}{(x-4)^2}), можно переписать числитель:
[
8x - x^2 = -x^2 + 8x = - (x^2 - 8x) = - (x(x - 8))
]
Теперь можем обновить выражение:
[
\frac{8x - x^2}{(x-4)^2} = \frac{- (x(x - 8))}{(x-4)^2}
]
Итак, теперь суммируем все выражения:
[
-16 + \frac{- (x(x - 8))}{(x-4)^2}
]
Следующим шагом, чтобы привести к общему знаменателю, можно представить (-16) как дробь:
[
-16 = \frac{-16 (x-4)^2}{(x-4)^2}
]
Теперь у нас:
[
\frac{-16(x-4)^2 - x(x - 8)}{(x-4)^2}
]
Давайте раскроем скобки:
[
-16(x-4)^2 = -16(x^2 - 8x + 16) = -16x^2 + 128x - 256
]
Итак, числитель становится:
[
-16x^2 + 128x - 256 - (x^2 - 8x) = -17x^2 + 136x - 256
]
Подводим итог:
[
\frac{-17x^2 + 136x - 256}{(x-4)^2}
]
Это окончательный ответ. Чтобы проверить, можно попытаться упростить числитель, но он не имеет более простого вида.
Таким образом, финальный ответ заключается в:
[
\frac{-17x^2 + 136x - 256}{(x-4)^2}
]
