Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Для нахождения диаметра описанной окружности равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна 1, а угол при вершине равен 120°, используем следующую формулу для радиуса описанной окружности \( R \):

\[ R = \frac{a}{2 \sin A} \]

где \( a \) – сторона, противоположная углу \( A \), а \( A \) – угол при вершине. В данном случае, \( A = 120^\circ \), а боковые стороны равны 1.

Сначала найдем основание \( b \), используя Закон косинусов. Обозначим основание треугольника как \( b \) (оно составляется из двух одинаковых частей, соответственно, \( b \) – это основание, противолежащее углу в 120°).

Применяем Закон косинусов:

\[ b^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) \]

Так как \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), подставляем:

\[ b^2 = 1 + 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 1 = 3 \] \[ b = \sqrt{3} \]

Теперь, когда у нас есть длина стороны \( b \) и угол \( A = 120^\circ \), можем вычислить радиус \( R \):

Сначала найдем \( \sin(120^\circ) \):

\[ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим в формулу для радиуса \( R \):

\[ R = \frac{b}{2 \sin A} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \]

Зная радиус \( R \), найдем диаметр \( D \):

\[ D = 2R = 2 \cdot 1 = 2 \]

Таким образом, диаметр описанной окружности этого треугольника равен \( 2 \).