Для нахождения диаметра описанной окружности равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна 1, а угол при вершине равен 120°, используем следующую формулу для радиуса описанной окружности ( R ):
[
R = \frac{a}{2 \sin A}
]
где ( a ) – сторона, противоположная углу ( A ), а ( A ) – угол при вершине. В данном случае, ( A = 120^\circ ), а боковые стороны равны 1.
Сначала найдем основание ( b ), используя Закон косинусов. Обозначим основание треугольника как ( b ) (оно составляется из двух одинаковых частей, соответственно, ( b ) – это основание, противолежащее углу в 120°).
Применяем Закон косинусов:
[
b^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)
]
Так как ( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ), подставляем:
[
b^2 = 1 + 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 1 = 3
]
[
b = \sqrt{3}
]
Теперь, когда у нас есть длина стороны ( b ) и угол ( A = 120^\circ ), можем вычислить радиус ( R ):
Сначала найдем ( \sin(120^\circ) ):
[
\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Теперь подставим в формулу для радиуса ( R ):
[
R = \frac{b}{2 \sin A} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1
]
Зная радиус ( R ), найдем диаметр ( D ):
[
D = 2R = 2 \cdot 1 = 2
]
Таким образом, диаметр описанной окружности этого треугольника равен ( 2 ).
