Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Для нахождения диаметра описанной окружности равнобедренного треугольника, где боковая сторона равна 1, а угол при вершине равен 120°, используем следующие соотношения.
Обозначим вершины треугольника как \( A \), \( B \), \( C \), где \( AB = AC = 1 \) (боковые стороны), а угол \( \angle A = 120° \).
Чтобы найти длину основания \( BC \), воспользуемся косинусом угла в треугольнике: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A) \]
Подставляем известные значения: \[ BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120°) \]
Значение косинуса 120° равно -0.5, следовательно: \[ BC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-0.5) = 1 + 1 + 1 = 3 \] \[ BC = \sqrt{3} \]
Теперь мы можем найти радиус \( R \) описанной окружности треугольника. Формула для радиуса \( R \) описанной окружности треугольника: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( S \) — его площадь.
Стороны треугольника:
- \( a = BC = \sqrt{3} \)
- \( b = AC = 1 \)
- \( c = AB = 1 \)
Чтобы найти площадь \( S \) треугольника, используем формулу через стороны и угол: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(120°) \] Синус угла 120° равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), следовательно: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]
Теперь подставим значения в формулу для радиуса \( R \): \[ R = \frac{(\sqrt{3}) \cdot 1 \cdot 1}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = 1 \]
Диаметр описанной окружности \( D \) равно: \[ D = 2R = 2 \cdot 1 = 2 \]
Ответ: диаметр описанной окружности равен \( 2 \).
