Для нахождения диаметра описанной окружности равнобедренного треугольника, где боковая сторона равна 1, а угол при вершине равен 120°, используем следующие соотношения.
Обозначим вершины треугольника как ( A ), ( B ), ( C ), где ( AB = AC = 1 ) (боковые стороны), а угол ( \angle A = 120° ).
Чтобы найти длину основания ( BC ), воспользуемся косинусом угла в треугольнике:
[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)
]
Подставляем известные значения:
[
BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120°)
]
Значение косинуса 120° равно -0.5, следовательно:
[
BC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-0.5) = 1 + 1 + 1 = 3
]
[
BC = \sqrt{3}
]
Теперь мы можем найти радиус ( R ) описанной окружности треугольника. Формула для радиуса ( R ) описанной окружности треугольника:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( S ) — его площадь.
Стороны треугольника:
- ( a = BC = \sqrt{3} )
- ( b = AC = 1 )
- ( c = AB = 1 )
Чтобы найти площадь ( S ) треугольника, используем формулу через стороны и угол:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(120°)
]
Синус угла 120° равен ( \frac{\sqrt{3}}{2} ), следовательно:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}
]
Теперь подставим значения в формулу для радиуса ( R ):
[
R = \frac{(\sqrt{3}) \cdot 1 \cdot 1}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = 1
]
Диаметр описанной окружности ( D ) равно:
[
D = 2R = 2 \cdot 1 = 2
]
Ответ: диаметр описанной окружности равен ( 2 ).
