укажите плоскость, которой параллельна прямая

Для того чтобы определить, какая плоскость параллельна данной прямой, нужно представить уравнение прямой в параметрической форме и сравнить направляющий вектор с нормальными векторами плоскостей.

Прямая задана уравнением:

\[ \frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z+3}{3} \]

Это можно представить в параметрической форме:

\[ x = 2t - 1, \quad y = -t - 1, \quad z = 3t - 3 \]

Направляющий вектор прямой: \( \vec{d} = (2, -1, 3) \).

Теперь посмотрим на плоскости и их нормальные векторы:

a) \(2x + y + z = 0\) имеет нормальный вектор \( \vec{n}_a = (2, 1, 1) \)

b) \(2x + y - z = 0\) имеет нормальный вектор \( \vec{n}_b = (2, 1, -1) \)

c) \(x + y + 2z = 0\) имеет нормальный вектор \( \vec{n}_c = (1, 1, 2) \)

d) \(x + y - z = 0\) имеет нормальный вектор \( \vec{n}_d = (1, 1, -1) \)

Прямая будет параллельна некоторой плоскости, если её направляющий вектор ортогонален нормальному вектору этой плоскости. Для этого их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Посчитаем скалярные произведения:

1. \( \vec{d} \cdot \vec{n}_a = 2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 1 = 4 - 1 + 3 = 6 \)

2. \( \vec{d} \cdot \vec{n}_b = 2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot (-1) = 4 - 1 - 3 = 0 \)

3. \( \vec{d} \cdot \vec{n}_c = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 2 = 2 - 1 + 6 = 7 \)

4. \( \vec{d} \cdot \vec{n}_d = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot (-1) = 2 - 1 - 3 = -2 \)

Только для плоскости (b) \(2x + y - z = 0\) скалярное произведение равно нулю. Значит, прямая параллельна плоскости (b).