Функция ( y = \frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x^2 - 3x + 2} ) не определена при ( x = 1 ), поскольку в этом случае знаменатель равен нулю. Чтобы разобраться, можно ли доопределить функцию так, чтобы она стала непрерывной в данной точке, сначала выясним, можем ли мы факторизовать числитель и знаменатель.
Знаменатель:
[
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
]
Теперь можем проверить, равен ли числитель нулю в точке ( x = 1 ):
[
x^3 - 6x^2 + 11x - 6
]
Подставим ( x = 1 ):
[
1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
]
Числитель равен нулю в точке ( x = 1 ). Теперь мы можем провести деление числителя на знаменатель, чтобы проверить, получится ли убрать деление на ноль:
Разделим ( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 ) на ( x - 1 ) с остатком:
[
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(Ax^2 + Bx + C)
]
Для нахождения коэффициентов ( A, B, C ), можно воспользоваться методом деления многочленов или подстановкой.
После деления получаем:
[
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)
]
Теперь можем факторизовать ( x^2 - 5x + 6 ):
[
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
]
Таким образом, исходный многочлен можно записать так:
[
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
]
Теперь подставим обратно в нашу функцию:
[
y = \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x - 1)(x - 2)}
]
При ( x \neq 1 ) функция упрощается до:
[
y = x - 3 \quad (x \neq 1, 2)
]
Таким образом, мы можем определить функцию в точке ( x = 1 ):
[
y(1) = 1 - 3 = -2
]
Теперь функция будет непрерывной в точке ( x = 1 ), если мы зададим:
[
y(1) = -2
]
Таким образом, можно доопределить функцию так, чтобы она стала непрерывной в точке ( x = 1 ).
