Для данной задачи мы имеем дело с биномиальным распределением, поскольку каждый товар может либо повредиться, либо нет, с фиксированной вероятностью повреждения.
Обозначим:
- n = 20 (количество товаров),
- p = 0,02 (вероятность повреждения товара),
- q = 1 - p = 0,98 (вероятность неповреждения товара).
Случайная величина ( X ), которая обозначает количество поврежденных товаров, будет иметь биномиальное распределение:
[ X \sim B(n, p) ]
a) Вероятностное распределение
Вероятность того, что ровно ( k ) товаров из ( n ) будет повреждено, можно вычислить по формуле биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n - k}
]
где ( C(n, k) ) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Среднее значение и дисперсия
Для биномиального распределения среднее значение ( \mu ) и дисперсия ( \sigma^2 ) вычисляются по следующим формулам:
Среднее значение (математическое ожидание):
[
\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0,02 = 0,4
]
Дисперсия:
[
\sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 20 \cdot 0,02 \cdot 0,98 = 0,392
]
Таким образом, мы имеем:
- Вероятностное распределение ( X \sim B(20, 0,02) ).
- Среднее значение ( \mu = 0,4 ).
- Дисперсия ( \sigma^2 = 0,392 ).
