Диск радиусом 30 см колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска найти период колебаний такого маятника
Чтобы найти период колебаний диска, который колеблется относительно горизонтальной оси, можно использовать формулу для физического маятника:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} \]
где:
- \( I \) — момент инерции диска относительно оси.
- \( m \) — масса диска.
- \( g \) — ускорение свободного падения (примерно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)).
- \( d \) — расстояние от оси вращения до центра масс.
Момент инерции (\(I\)) относительно данной оси можно вычислить с использованием теоремы Гюйгенса—Штейнера:
\[ I = I_{\text{центр}} + md^2 \]
Момент инерции диска относительно его центра равен \( I_{\text{центр}} = \frac{1}{2} m R^2 \).
Для оси, проходящей через середину радиуса, расстояние \( d = \frac{R}{2} \).
Получаем:
\[ I = \frac{1}{2} m R^2 + m \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} m R^2 + \frac{1}{4} m R^2 = \frac{3}{4} m R^2 \]
Теперь можем подставить \( I \) в формулу для периода:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{4} m R^2}{m g \frac{R}{2}}} \]
Простим формулу:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{4} R^2}{g \frac{R}{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{3 R}{2g}} \]
Подставим числовые значения:
- \( R = 0.3 \, \text{м} \)
- \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \)
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{3 \times 0.3}{2 \times 9.81}} \]
\[ T \approx 2\pi \sqrt{\frac{0.9}{19.62}} \]
\[ T \approx 2\pi \sqrt{0.0459} \]
\[ T \approx 2\pi \times 0.2144 \]
\[ T \approx 1.347 \, \text{с} \]
Период колебаний диска составляет примерно 1.347 секунд.
