Чтобы найти период колебаний диска, который колеблется относительно горизонтальной оси, можно использовать формулу для физического маятника:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} ]
где:
- ( I ) — момент инерции диска относительно оси.
- ( m ) — масса диска.
- ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )).
- ( d ) — расстояние от оси вращения до центра масс.
Момент инерции ((I)) относительно данной оси можно вычислить с использованием теоремы Гюйгенса—Штейнера:
[ I = I_{\text{центр}} + md^2 ]
Момент инерции диска относительно его центра равен ( I_{\text{центр}} = \frac{1}{2} m R^2 ).
Для оси, проходящей через середину радиуса, расстояние ( d = \frac{R}{2} ).
Получаем:
[ I = \frac{1}{2} m R^2 + m \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} m R^2 + \frac{1}{4} m R^2 = \frac{3}{4} m R^2 ]
Теперь можем подставить ( I ) в формулу для периода:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{4} m R^2}{m g \frac{R}{2}}} ]
Простим формулу:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{4} R^2}{g \frac{R}{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{3 R}{2g}} ]
Подставим числовые значения:
- ( R = 0.3 , \text{м} )
- ( g = 9.81 , \text{м/с}^2 )
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{3 \times 0.3}{2 \times 9.81}} ]
[ T \approx 2\pi \sqrt{\frac{0.9}{19.62}} ]
[ T \approx 2\pi \sqrt{0.0459} ]
[ T \approx 2\pi \times 0.2144 ]
[ T \approx 1.347 , \text{с} ]
Период колебаний диска составляет примерно 1.347 секунд.
