Обозначим длину деревянной балки как ( L ) метров. Тогда длина железной балки будет ( L - 1 ) метров.
Обозначим массу 1 метра деревянной балки как ( m_d ) кг, а массу 1 метра железной балки как ( m_i ) кг.
Из условия задачи мы знаем следующее:
Масса деревянной балки:
( m_d \cdot L = 120 )
(1)
Масса железной балки:
( m_i \cdot (L - 1) = 140 )
(2)
Масса 1 метра железной балки на 5 кг больше массы 1 метра деревянной:
( m_i = m_d + 5 )
(3)
Теперь подставим ( m_i ) из (3) в (2):
[
(m_d + 5) \cdot (L - 1) = 140
]
Раскроем скобки:
[
m_d \cdot (L - 1) + 5(L - 1) = 140
]
[
m_d \cdot L - m_d + 5L - 5 = 140
]
Теперь подставим значение ( m_d \cdot L ) из (1):
[
120 - m_d + 5L - 5 = 140
]
[
115 - m_d + 5L = 140
]
[
5L - m_d = 25
]
(4)
Также из (1) у нас есть ( m_d = \frac{120}{L} ). Подставим это в уравнение (4):
[
5L - \frac{120}{L} = 25
]
Умножим всё на ( L ) (предполагая, что ( L \neq 0 )):
[
5L^2 - 120 = 25L
]
[
5L^2 - 25L - 120 = 0
]
Разделим уравнение на 5:
[
L^2 - 5L - 24 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121
]
Находим корни:
[
L = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 11}{2}
]
Таким образом,
[
L_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{и} \quad L_2 = \frac{-6}{2} = -3
]
Поскольку длина не может быть отрицательной, принимаем ( L = 8 ).
Теперь найдем длину железной балки:
[
L - 1 = 8 - 1 = 7
]
Ответ: длина деревянной балки составляет 8 метров, а длина железной балки - 7 метров.
