f(x)= ⎩ ⎨ ⎧ ​ 2x+11,5 −x−2 0,5x+1 ​ при x<−4, при −4⩽x<−2, при x⩾−2. ​ Определите, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Чтобы определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком функции \( f(x) \) ровно две общие точки, нужно рассмотреть три части функции и проанализировать, где прямая может пересекать график функции.

Функция \( f(x) \) имеет три участков:

1. \( f(x) = 2x + 11.5 \) для \( x < -4 \)
2. \( f(x) = -x - 2 \) для \( -4 \leq x < -2 \)
3. \( f(x) = 0.5x + 1 \) для \( x \geq -2 \)

Теперь найдем значения функции на границах этих отрезков и проанализируем их.

1. Для \( x < -4 \):
   На этой части графика \[ f(-4) = 2(-4) + 11.5 = -8 + 11.5 = 3.5 \] Функция убывает до значений, которые ниже 3.5.

2. Для \( -4 \leq x < -2 \):
   Здесь \[ f(-4) = -(-4) - 2 = 4 - 2 = 2 \] \[ f(-2) = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0 \] На этом участке значение функции изменяется от 2 до 0.

3. Для \( x \geq -2 \):
   Здесь \[ f(-2) = 0.5(-2) + 1 = -1 + 1 = 0 \] Функция здесь увеличивается, достигая единицы, когда \( x = 2 \) (например): \[ f(2) = 0.5(2) + 1 = 1 + 1 = 2 \]

Теперь рассмотрим разные диапазоны значений \( m \):

• Если \( m > 3.5 \): прямая будет пересекать график функции на первой части (одна точка) и не будет пересекаться с другими частями (итого 1 точка).

• Если \( 2 < m \leq 3.5 \): прямая пересекает первую часть (одна точка) и второй участок (одна точка) (итого 2 точки).

• Если \( 0 < m \leq 2 \): прямая пересекает только второй участок (две точки на линии, одна на границе) и третий участок (одна точка) (итого 3 точки).

• Если \( m = 2 \): прямая пересекает второй участок (точка) и в точке -4 (обычно считается две точки).

• Если \( m = 0 \): прямая будет пересекаться на третьем участке (одна точка, точка касания).

• Если \( m < 0 \): прямая пересекается только на третьем участке и не будет пересекаться с двумя другими частями.

В результате, прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с графиком \( f(x) \), если: \[ 2 < m < 3.5 \]

Это значит, что \( m \) должно быть в диапазоне от 2 до 3.5, исключая края.