Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12, высота призмы равна 14. Найдите площадь ее поверхности. 2. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 20 и 21. Площадь ее поверхности равна 3030. Найдите боковое ребро этой призмы. 3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 504. Найдите высоту призмы. 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 7.

1. **Площадь поверхности прямой треугольной призмы:** Основанием служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь основания: \[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \] Периметр основания: Чтобы найти периметр, сначала найдём гипотенузу: \[ c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \] Теперь периметр: \[ P_{\text{осн}} = 9 + 12 + 15 = 36 \] Площадь боковой поверхности (периметр * высота): \[ S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \times h = 36 \times 14 = 504 \] Общая площадь поверхности: \[ S_{\text{пов}} = 2 \times S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \times 54 + 504 = 108 + 504 = 612 \] **Ответ:** Площадь поверхности призмы равна 612. --- 2. **Боковое ребро прямой призмы с ромбическим основанием:** Площадь ромба: \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 210 \] Обозначим боковое ребро через \( h \). Площадь поверхности призмы: \[ S_{\text{пов}} = 2S + P_{\text{осн}} \times h \] Периметр ромба (ребро \( a \), где \( a = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2} \)): \[ a = \frac{1}{2} \sqrt{20^2 + 21^2} = \frac{1}{2} \sqrt{400 + 441} = \frac{1}{2} \sqrt{841} = \frac{1}{2} \times 29 = 14.5 \] Периметр: \[ P_{\text{осн}} = 4a = 4 \times 14.5 = 58 \] Подставим в уравнение площади поверхности: \[ 3030 = 2 \times 210 + 58h \implies 3030 = 420 + 58h \implies 58h = 3030 - 420 = 2610 \] \[ h = \frac{2610}{58} \approx 45 \] **Ответ:** Боковое ребро призмы равно 45. --- 3. **Высота призмы с заданной площадью поверхности:** Площадь основания: Мы уже нашли, что: \[ S_{\text{осн}} = 54 \] Площадь поверхности: \[ 504 = 2 \times 54 + 36h \implies 504 = 108 + 36h \implies 36h = 504 - 108 = 396 \implies h = \frac{396}{36} = 11 \] **Ответ:** Высота призмы равна 11. --- 4. **Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы:** Площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \times h \] Периметр шестиугольника со стороной \( a = 3 \): \[ P_{\text{осн}} = 6 \times a = 6 \times 3 = 18 \] Высота \( h = 7 \): \[ S_{\text{бок}} = 18 \times 7 = 126 \] **Ответ:** Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна 126.