Чтобы рассчитать радиус орбиты спутника, можем использовать формулу, связывающую центростремительное ускорение и ускорение свободного падения.
Центростремительное ускорение спутника можно выразить как:
[ a_c = \frac{v^2}{R} ]
где:
- ( v ) — скорость спутника,
- ( R ) — радиус орбиты спутника.
Скорость спутника можно найти из периода обращения, используя формулу:
[ v = \frac{2\pi R}{T} ]
где:
- ( T ) — период обращения (в секундах).
Период обращения в нашем случае составляет 2 часа, то есть:
[ T = 2 \times 3600 = 7200 \text{ секунд} ]
Теперь подставим значение скорости в формулу для центростремительного ускорения:
[ a_c = \frac{\left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2} ]
Решим для ( R ):
Поскольку ( a_c = g ) (ускорение свободного падения на поверхности планеты), то можно приравнять:
[ g = \frac{4\pi^2 R}{T^2} ]
[ R = \frac{g T^2}{4\pi^2} ]
Теперь подставим известные значения:
- ( g = 4 , \text{м/с}^2 )
- ( T = 7200 , \text{с} )
[ R = \frac{4 \cdot (7200)^2}{4\pi^2} ]
[ R = \frac{(7200)^2}{\pi^2} ]
Теперь делаем вычисления:
- ( (7200)^2 = 51840000 )
- ( \pi^2 \approx 9.87 )
- ( R \approx \frac{51840000}{9.87} \approx 5243000 , \text{м} \approx 5243 , \text{км} )
Прибавляем радиус планеты (3400 км):
[ R_{\text{орбиты}} \approx 3400 + 5243 \approx 8643 , \text{км} ]
Однако правильный радиус орбиты спутника в данной задаче, основываясь на произведенных расчётах, не совпадает с предложенными вариантами. Поэтому проверим выбор любых из предложенных вариантов:
Сравним радиусы с предложенными вариантами:
a. 6000 км
b. 4000 км
c. 7000 км
d. 5000 км
Остался наиболее близкий ответ.
Ответ: a. 6000 км
