Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = х3 +1,5x2 -6х -2 и интервалами из области её определения: Выбрать один из данных ответов. При х €(…
Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = х3 +1,5x2 -6х -2 и интервалами из области её определения: Выбрать один из данных ответов. При х €( 0; 2) Выбрать один из данных ответов. При х€(-1,5; 0,5) Выбрать один из данных ответов. При х €(-10; -1) Выбрать один из данных ответов. При х €(1,5; 10) 1)функция выпукла вниз и монотонно убывает 2)функция выпукла вверх и монотонно убывает 3)функция монотонно возрастает 4)функция выпукла вверх 5)функция выпукла вниз 6)функция монотонно убывает
Чтобы установить соответствие между характером монотонности и выпуклости функции \( y = x^3 + 1.5x^2 - 6x - 2 \) и заданными интервалами, необходимо сначала найти производные функции.
Первая производная \( y' \) (проверка монотонности): \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \] Найдём корни уравнения \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 3x - 6 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \] \( (x - 1)(x + 2) = 0 \rightarrow x_1 = 1, \, x_2 = -2 \).
Вторая производная \( y'' \) (проверка выпуклости): \[ y'' = 6x + 3 \] Найдём корни уравнения \( y'' = 0 \): \[ 6x + 3 = 0 \implies x = -0.5 \]
Теперь исследуем каждый интервал:
При \( x \in (0; 2) \):
- Первая производная: \( y' \) > 0, функция монотонно возрастает.
- Вторая производная: \( y'' \) > 0, функция выпукла вверх.
Ответ: 3) функция монотонно возрастает и 4) функция выпукла вверх.
При \( x \in (-1.5; 0.5) \):
- По первому корню \( x = -2 \) и второму корню \( x = 1 \):
- На отрезке \( (-1.5; 0.5) \), \( x < 1 \) и \( x > -2 \), следовательно, \( y' < 0 \), функция монотонно убывает.
- Вторая производная: \( y'' < 0 \), функция выпукла вниз.
Ответ: 1) функция выпукла вниз и монотонно убывает.
- По первому корню \( x = -2 \) и второму корню \( x = 1 \):
При \( x \in (-10; -1) \):
- По первому корню \( x = -2 \):
- На отрезке \( (-10; -1) \), \( x < -2 \), следовательно, \( y' > 0 \), функция монотонно возрастает.
- Вторая производная: \( y'' < 0 \), функция выпукла вниз.
Ответ: 5) функция выпукла вниз.
- По первому корню \( x = -2 \):
При \( x \in (1.5; 10) \):
- По первому корню \( x = 1 \):
- На отрезке \( (1.5; 10) \), \( x > 1 \), следовательно, \( y' > 0 \), функция монотонно возрастает.
- Вторая производная: \( y'' > 0 \), функция выпукла вверх.
Ответ: 4) функция выпукла вверх.
- По первому корню \( x = 1 \):
Таким образом, итоговые ответы по интервалам:
- При \( x \in (0; 2) \): 3 и 4.
- При \( x \in (-1.5; 0.5) \): 1.
- При \( x \in (-10; -1) \): 5.
- При \( x \in (1.5; 10) \): 4.
