Значение функции y = х4-4x3+10 в точке экстремума равно:
Чтобы найти значение функции \( y = x^4 - 4x^3 + 10 \) в точке экстремума, сначала необходимо определить точки экстрeмума.
Найдем производную функции: \[ y' = 4x^3 - 12x^2 \]
Найдем точки, где производная равна нулю: \[ 4x^3 - 12x^2 = 0 \] Вынесем \( 4x^2 \): \[ 4x^2(x - 3) = 0 \] Это уравнение имеет решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \]
Теперь подставим эти значения в первую производную, чтобы определить, являются ли эти точки минимумом или максимумом:
- Для \( x = 0 \): \[ y' = 4(0)^3 - 12(0)^2 = 0 \]
- Для \( x = 3 \): \[ y' = 4(3)^3 - 12(3)^2 = 4(27) - 12(9) = 108 - 108 = 0 \]
Используем второй производный тест для определения характера экстремумов: Найдем вторую производную: \[ y'' = 12x^2 - 24x \]
Для \( x = 0 \): \[ y''(0) = 12(0)^2 - 24(0) = 0 \] Этот тест ничего не говорит, нужно проверить соседние точки.
Для \( x = 3 \): \[ y''(3) = 12(3)^2 - 24(3) = 12(9) - 72 = 108 - 72 = 36 > 0 \] Следовательно, в точке \( x = 3 \) находится минимум.
Теперь найдем значение функции \( y \) в точке \( x = 3 \): \[ y(3) = (3)^4 - 4(3)^3 + 10 = 81 - 108 + 10 = -17 \]
Таким образом, значение функции в точке экстремума равно \( -17 \).
