Докажите что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия

Чтобы доказать, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия, давайте рассмотрим два подобных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A'B'C' \).

Пусть коэффициент подобия между этими треугольниками равен \( k \). Это значит, что стороны треугольника \( A'B'C' \) в \( k \) раз больше соответствующих сторон треугольника \( ABC \). То есть:

\[ A'B' = k \cdot AB, \] \[ B'C' = k \cdot BC, \] \[ C'A' = k \cdot CA. \]

Теперь найдем периметры этих треугольников.

Периметр треугольника \( ABC \) будет равен:

\[ P = AB + BC + CA. \]

Периметр треугольника \( A'B'C' \) будет равен:

\[ P' = A'B' + B'C' + C'A' = k \cdot AB + k \cdot BC + k \cdot CA = k (AB + BC + CA) = k \cdot P. \]

Теперь найдем отношение периметров двух треугольников:

\[ \frac{P'}{P} = \frac{k \cdot P}{P} = k. \]

Таким образом, мы доказали, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

\[ \frac{P'}{P} = k. \]