Для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно использовать следующую формулу:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
где ( r ) — радиус вписанной окружности, ( a ) и ( b ) — длины катетов, ( c ) — длина гипотенузы.
В прямоугольном треугольнике также существует связь между радиусами вписанной и описанной окружностей:
[
R = \frac{c}{2}
]
где ( R ) — радиус описанной окружности, а ( c ) — гипотенуза.
Зная, что ( R = 7.5 ) см, можем найти гипотенузу ( c ):
[
c = 2R = 2 \times 7.5 = 15 \text{ см}
]
Теперь у нас есть одна сторона (катет ( BC = 12 ) см) и гипотенуза ( c = 15 ) см. Мы можем найти второй катет (( AB )) через теорему Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где ( a = BC = 12 ) см и ( c = 15 ) см.
Итак, подставим известные значения:
[
15^2 = 12^2 + b^2
]
[
225 = 144 + b^2
]
[
b^2 = 225 - 144 = 81
]
[
b = \sqrt{81} = 9 \text{ см}
]
Теперь у нас есть оба катета: ( a = 12 ) см и ( b = 9 ) см. Подставляем их в формулу для радиуса вписанной окружности:
[
r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{12 + 9 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}
]
Итак, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен ( 3 ) см.
