- Неравенство треугольника.
Пусть у нас есть треугольник с вершинами ( A ), ( B ), ( C ) и сторонами, соответствующими ним, ( a = BC ), ( b = AC ), ( c = AB ).
Чтобы доказать, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны, рассмотрим два случая:
Сумма сторон ( a ) и ( b ):
- Мы будем использовать неравенство между сторонами и углом. Согласно свойству треугольника, угол ( A ) (угол между сторонами ( b ) и ( c )) меньше 180 градусов.
- Сторона ( a ) противолежит углу ( A ), и по неравенству косинусов имеем:
[
a < b + c.
]
Сумма сторон ( b ) и ( c ):
- Аналогично, угол ( B ) меньше 180 градусов, и сторона ( b ) противолежит углу ( B ):
[
b < a + c.
]
Сумма сторон ( c ) и ( a ):
- Угол ( C ) также меньше 180 градусов, и сторона ( c ) противолежит этому углу:
[
c < a + b.
]
Таким образом, мы получили три неравенства:
[
a + b > c, \
b + c > a, \
c + a > b.
]
Это и есть неравенство треугольника.
- Доказательство, что длина диагонали в прямоугольнике больше длины любой из его сторон.
Пусть прямоугольник имеет стороны длиной ( a ) и ( b ). Обозначим диагональ ( d ).
По теореме Пифагора длина диагонали вычисляется следующим образом:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}.
]
Чтобы доказать, что длина диагонали больше длины любой из сторон, нужно убедиться, что:
[
d > a \quad \text{и} \quad d > b.
]
Проверим неравенство ( d > a ):
[
\sqrt{a^2 + b^2} > a.
]
Возведем обе стороны в квадрат (при этом будем помнить, что обе стороны положительны):
[
a^2 + b^2 > a^2.
]
Убираем ( a^2 ):
[
b^2 > 0,
]
что всегда верно, если ( b > 0 ).
Теперь проверим неравенство ( d > b ):
[
\sqrt{a^2 + b^2} > b.
]
Также возводим в квадрат:
[
a^2 + b^2 > b^2.
]
Убираем ( b^2 ):
[
a^2 > 0,
]
что всегда верно, если ( a > 0 ).
Таким образом, мы доказали, что длина диагонали ( d ) больше длины любой из его сторон ( a ) и ( b ).
