1. Докажите, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. 2. В прямоугольнике длина диагонали больше длины любой из его сторон. Докажите.
- Неравенство треугольника.
Пусть у нас есть треугольник с вершинами \( A \), \( B \), \( C \) и сторонами, соответствующими ним, \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).
Чтобы доказать, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны, рассмотрим два случая:
Сумма сторон \( a \) и \( b \):
- Мы будем использовать неравенство между сторонами и углом. Согласно свойству треугольника, угол \( A \) (угол между сторонами \( b \) и \( c \)) меньше 180 градусов.
- Сторона \( a \) противолежит углу \( A \), и по неравенству косинусов имеем: \[ a < b + c. \]
Сумма сторон \( b \) и \( c \):
- Аналогично, угол \( B \) меньше 180 градусов, и сторона \( b \) противолежит углу \( B \): \[ b < a + c. \]
Сумма сторон \( c \) и \( a \):
- Угол \( C \) также меньше 180 градусов, и сторона \( c \) противолежит этому углу: \[ c < a + b. \]
Таким образом, мы получили три неравенства: \[ a + b > c, \\ b + c > a, \\ c + a > b. \]
Это и есть неравенство треугольника.
- Доказательство, что длина диагонали в прямоугольнике больше длины любой из его сторон.
Пусть прямоугольник имеет стороны длиной \( a \) и \( b \). Обозначим диагональ \( d \).
По теореме Пифагора длина диагонали вычисляется следующим образом: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2}. \]
Чтобы доказать, что длина диагонали больше длины любой из сторон, нужно убедиться, что: \[ d > a \quad \text{и} \quad d > b. \]
Проверим неравенство \( d > a \): \[ \sqrt{a^2 + b^2} > a. \] Возведем обе стороны в квадрат (при этом будем помнить, что обе стороны положительны): \[ a^2 + b^2 > a^2. \] Убираем \( a^2 \): \[ b^2 > 0, \] что всегда верно, если \( b > 0 \).
Теперь проверим неравенство \( d > b \): \[ \sqrt{a^2 + b^2} > b. \] Также возводим в квадрат: \[ a^2 + b^2 > b^2. \] Убираем \( b^2 \): \[ a^2 > 0, \] что всегда верно, если \( a > 0 \).
Таким образом, мы доказали, что длина диагонали \( d \) больше длины любой из его сторон \( a \) и \( b \).
