Для решения данной задачи мы будем использовать свойства геометрического распределения, поскольку стрелок производит выстрелы до первого попадания. В этом распределении вероятность попадания (успеха) в каждом выстреле равна ( p = 0,35 ), а вероятность промаха (неудачи) равна ( q = 1 - p = 0,65 ).
a) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно с третьего выстрела.
Стрелок должен сделать два промаха и затем один успех. Вероятность этого события можно записать как:
[
P(X = 3) = q^2 \cdot p = (0,65)^2 \cdot (0,35)
]
[
= 0,4225 \cdot 0,35 = 0,147875
]
b) Вероятность того, что стрелок попадает в мишень за один или два выстрела.
Это событие включает два случая: попадание с первого выстрела и попадание со второго выстрела (после одного промаха). Вероятность этого можно записать как:
[
P(X \leq 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = p + q \cdot p
]
[
= 0,35 + 0,65 \cdot 0,35 = 0,35 + 0,2275 = 0,5775
]
c) Вероятность того, что стрелок попадает в мишень не больше чем за пять выстрелов.
Требуется считать случаи, когда попадание происходит на 1, 2, 3, 4 или 5 выстрелах:
[
P(X \leq 5) = p + q \cdot p + q^2 \cdot p + q^3 \cdot p + q^4 \cdot p
]
[
= p (1 + q + q^2 + q^3 + q^4)
]
Это можно вычислить, используя формулу для суммы геометрической прогрессии:
[
1 + q + q^2 + q^3 + q^4 = \frac{1 - q^5}{1 - q}
]
Подставляя ( q = 0,65 ):
[
= \frac{1 - (0,65)^5}{1 - 0,65} = \frac{1 - 0,116029}{0,35} \approx \frac{0,883971}{0,35} \approx 2,53063
]
Теперь, подставляя в основное выражение:
[
P(X \leq 5) = 0,35 \cdot 2,53063 \approx 0,8867
]
d) Вероятность того, что первые четыре выстрела окончатся неудачей.
Стрелок должен промахнуться четыре раза подряд:
[
P(X > 4) = q^4 = (0,65)^4 = 0,179625
]
e) Наименьшее количество выстрелов, чтобы вероятность поражения цели оказалась ниже 0,8.
Мы хотим найти такое ( n ), что:
[
P(X > n) = q^n < 0,2
]
Или, используя логарифмы:
[
q^n < 0,2 \implies n \cdot \log(q) < \log(0,2)
]
Сначала найдем ( n ):
[
n > \frac{\log(0,2)}{\log(0,65)}
]
Приблизительно можно вычислить эти логарифмы:
[
\log(0,2) \approx -0,69897
]
[
\log(0,65) \approx -0,18739
]
Теперь подставим:
[
n > \frac{-0,69897}{-0,18739} \approx 3,73
]
Таким образом, наименьшее целое число ( n ) — это 4.
Ответы:
a) ( \approx 0,1479 )
b) ( \approx 0,5775 )
c) ( \approx 0,8867 )
d) ( \approx 0,1796 )
e) 4 выстрела.
