Вариант I. 1. Треугольники MNK и ABC подобны. zM=zA, ZK=zC, NK=5 см, MK=7 см, BC=10 см. Найти АС. A) 12 см; В) 15 см; С) 14 см; D) 9 см. AB ＿ BC ＿ AC 2. Треугольники ABC и PEF…

Решим задачи по порядку.

1. Треугольники MNK и ABC подобны.

Из условия подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно.

Дано:

• NK = 5 см
• MK = 7 см
• BC = 10 см

Из подобия треугольников (MNK ~ ABC) имеем:

\[ \frac{MK}{AB} = \frac{NK}{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{7}{AB} = \frac{5}{10} \]

Решим уравнение для AB:

\[ AB = \frac{7 \cdot 10}{5} = 14 \text{ см} \]

Теперь используем такие же соотношения:

\[ \frac{MK}{AC} = \frac{NK}{BC} \implies \frac{7}{AC} = \frac{5}{10} \]

Решаем для AC:

\[ AC = \frac{7 \cdot 10}{5} = 14 \text{ см} \]

Таким образом, ответ: С) 14 см.

2. Треугольники ABC и PEF подобны. Найти угол C.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Так как треугольники подобны, то:

\[ ZA + ZC + ZB = 180^\circ \quad и \quad ZE + ZF + ZP = 180^\circ \]

Дано:

• ZA = 50°, ZE = 75°

Принимаем, что углы ABC и PEF соответствуют:

\[ ZB = ZE \Rightarrow ZB = 75° \]

Таким образом: \[ ZC + 50° + 75° = 180° \]

Решаем для ZC:

\[ ZC = 180° - 50° - 75° = 55°. \]

Ответ: A) 55°.

3. Площадь второго треугольника.

Давайте найдем отношение сторон:

Если одна сторона равна 3.5 см, а другая 7 см, то отношение сторон равно:

\[ k = \frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, отношение площадей (по квадрату отношения сторон):

\[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. \]

Зная, что площадь первого треугольника \(S_1 = 9\):

\[ S_2 = \frac{S_1}{\frac{1}{4}} = 9 \cdot 4 = 36 \text{ см}^2. \]

Ответ: D) 36 см².

4. Площадь меньшего треугольника.

Периметры треугольников относятся как 2:3. Это означает:

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. \]

Сумма площадей равна 260 см² (S1 + S2):

\[ S_1 + S_2 = 260 \text{ см}^2. \]

Обозначим площадь меньшего треугольника как \(S_1\), тогда:

\[ S_1 + \frac{9}{4} S_1 = 260, \] \[ \frac{13}{4} S_1 = 260, \] \[ S_1 = \frac{260 \cdot 4}{13} = 80 \text{ см}^2. \]

Ответ: B) 80 см².

5. Найти большую из сторон.

Сначала найдем отношение площадей:

\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5}. \]

Отношение сходственных сторон будет корнем из этого отношения:

\[ \frac{a}{b} = \frac{4}{5}. \]

Обозначим стороны как \(x\) и \(y\):

\[ x + y = 27. \]

Из отношения имеем:

\[ x = \frac{4}{5} y \quad или \quad y = \frac{5}{4} x. \]

Подставим первое уравнение в сумму:

\[ \frac{4}{5}y + y = 27 \Rightarrow \frac{9}{5} y = 27 \Rightarrow y = \frac{27 \cdot 5}{9} = 15. \]

Теперь находим \(x\):

\[ x = 27 - 15 = 12. \]

Большая сторона = 15 см.

Ответ: B) 15 см.

Таким образом, финальные ответы:

1. С) 14 см.
2. A) 55°.
3. D) 36 см².
4. B) 80 см².
5. B) 15 см.