Вариант I. 1. Треугольники MNK и ABC подобны. zM=zA, ZK=zC, NK=5 см, MK=7 см, BC=10 см. Найти АС. A) 12 см; В) 15 см; С) 14 см; D) 9 см. AB ＿ BC ＿ AC 2. Треугольники ABC и PEF подобны, причём Найти угол С, если ZA=50°, ZE=75°. PE EF PF A) 55°; B) 65°; C) 75°; D) 50°. 3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 3,5 см и 7 см. Площадь первого треугольника равна 9 см2. Найти площадь второго треугольника. A) 21 см2; B) 18 см2; C) 27 см2; D) 36 см2. 4. Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см2. Найти площадь меньшего треугольника. A) 75 см2; B) 80 см2; C) 160 см2; D) 90 см2. 5. Площади двух подобных треугольников равны 32 см2 и 50 см2. Сумма двух сходственных сторон 27 см. Найти большую их этих сторон. B) 14 см; B) 15 см; С) 13 см; D) 18 см.

Решим задачи по порядку. ### 1. Треугольники MNK и ABC подобны. Из условия подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно. Дано: - NK = 5 см - MK = 7 см - BC = 10 см Из подобия треугольников (MNK ~ ABC) имеем: \[ \frac{MK}{AB} = \frac{NK}{BC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{7}{AB} = \frac{5}{10} \] Решим уравнение для AB: \[ AB = \frac{7 \cdot 10}{5} = 14 \text{ см} \] Теперь используем такие же соотношения: \[ \frac{MK}{AC} = \frac{NK}{BC} \implies \frac{7}{AC} = \frac{5}{10} \] Решаем для AC: \[ AC = \frac{7 \cdot 10}{5} = 14 \text{ см} \] Таким образом, ответ: **С) 14 см.** ### 2. Треугольники ABC и PEF подобны. Найти угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Так как треугольники подобны, то: \[ ZA + ZC + ZB = 180^\circ \quad и \quad ZE + ZF + ZP = 180^\circ \] Дано: - ZA = 50°, ZE = 75° Принимаем, что углы ABC и PEF соответствуют: \[ ZB = ZE \Rightarrow ZB = 75° \] Таким образом: \[ ZC + 50° + 75° = 180° \] Решаем для ZC: \[ ZC = 180° - 50° - 75° = 55°. \] Ответ: **A) 55°.** ### 3. Площадь второго треугольника. Давайте найдем отношение сторон: Если одна сторона равна 3.5 см, а другая 7 см, то отношение сторон равно: \[ k = \frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}. \] Таким образом, отношение площадей (по квадрату отношения сторон): \[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. \] Зная, что площадь первого треугольника \(S_1 = 9\): \[ S_2 = \frac{S_1}{\frac{1}{4}} = 9 \cdot 4 = 36 \text{ см}^2. \] Ответ: **D) 36 см².** ### 4. Площадь меньшего треугольника. Периметры треугольников относятся как 2:3. Это означает: \[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. \] Сумма площадей равна 260 см² (S1 + S2): \[ S_1 + S_2 = 260 \text{ см}^2. \] Обозначим площадь меньшего треугольника как \(S_1\), тогда: \[ S_1 + \frac{9}{4} S_1 = 260, \] \[ \frac{13}{4} S_1 = 260, \] \[ S_1 = \frac{260 \cdot 4}{13} = 80 \text{ см}^2. \] Ответ: **B) 80 см².** ### 5. Найти большую из сторон. Сначала найдем отношение площадей: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5}. \] Отношение сходственных сторон будет корнем из этого отношения: \[ \frac{a}{b} = \frac{4}{5}. \] Обозначим стороны как \(x\) и \(y\): \[ x + y = 27. \] Из отношения имеем: \[ x = \frac{4}{5} y \quad или \quad y = \frac{5}{4} x. \] Подставим первое уравнение в сумму: \[ \frac{4}{5}y + y = 27 \Rightarrow \frac{9}{5} y = 27 \Rightarrow y = \frac{27 \cdot 5}{9} = 15. \] Теперь находим \(x\): \[ x = 27 - 15 = 12. \] Большая сторона = 15 см. Ответ: **B) 15 см.** Таким образом, финальные ответы: 1. С) 14 см. 2. A) 55°. 3. D) 36 см². 4. B) 80 см². 5. B) 15 см.