- Чтобы найти расстояние между точками (C(3; 7)) и (D(6; 8)), используем формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Подставим координаты точек (C) и (D):
[
d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (8 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
]
Таким образом, расстояние между точками (C) и (D) равно (\sqrt{10}).
- Чтобы найти середину отрезка (E(-4; 6)) и (F(10; -6)), используем формулу середины отрезка:
[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
]
Подставим координаты точек (E) и (F):
[
M\left(\frac{-4 + 10}{2}, \frac{6 + (-6)}{2}\right) = M\left(\frac{6}{2}, \frac{0}{2}\right) = M(3, 0)
]
Середина отрезка (EF) равна (M(3, 0)).
- Чтобы доказать, что точка (F(-1; 3)) принадлежит отрезку (DE) с координатами (D(-3; 7)) и (E(2; -3)), проверим, лежит ли точка (F) на отрезке, который соединяет точки (D) и (E). Это происходит, если и (F) лежит на прямой, проходящей через (D) и (E), и координаты (F) соответствуют промежуточным значениям.
Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки (D) и (E). Сначала найдем угловой коэффициент (k):
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 7}{2 - (-3)} = \frac{-10}{5} = -2
]
Теперь используем формулу уравнения прямой в точке (D):
[
y - y_1 = k(x - x_1) \implies y - 7 = -2(x + 3)
]
Упрощаем:
[
y - 7 = -2x - 6 \implies y = -2x + 1
]
Теперь подставим (x = -1) в уравнение прямой, чтобы найти соответствующее значение (y):
[
y = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3
]
Таким образом, при (x = -1) мы получили (y = 3), что совпадает с координатами точки (F(-1; 3)).
Теперь проверим, что (F) находится между (D) и (E):
Координаты (D(-3; 7)) и (E(2; -3)).
- Для (x): (-3 \leq -1 \leq 2) (верно)
- Для (y): (3 \leq 7) (верно) и (3 \geq -3) (верно)
Так как обе проверки выполняются, точка (F) принадлежит отрезку (DE).
