Решим задачу по пунктам.
1. Функция задана формулой ( f(x) = \frac{1}{3} x^2 - 2x )
1) Найдем ( f(-6) ) и ( f(2) )
Вычислим ( f(-6) ):
[
f(-6) = \frac{1}{3} (-6)^2 - 2(-6) = \frac{1}{3} \cdot 36 + 12 = 12 + 12 = 24
]
Вычислим ( f(2) ):
[
f(2) = \frac{1}{3} (2)^2 - 2(2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 4 = \frac{4}{3} - 4 = \frac{4}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{8}{3}
]
Таким образом, значения функции:
- ( f(-6) = 24 )
- ( f(2) = -\frac{8}{3} )
2) Найдем нули функции
Нули функции находятся при равенстве функции нулю:
[
f(x) = 0 \implies \frac{1}{3} x^2 - 2x = 0
]
Вынесем ( x ) за скобку:
[
x \left(\frac{1}{3} x - 2\right) = 0
]
Нули получим из уравнений:
- ( x = 0 )
- ( \frac{1}{3} x - 2 = 0 \implies \frac{1}{3} x = 2 \implies x = 6 )
Таким образом, нули функции: ( x = 0 ) и ( x = 6 ).
2. Найдите область определения функции
Функция задана формулой
[
f(x) = \frac{z - 4}{z^2 - x - x^2}
]
Определение области включает нахождение значений ( x ), при которых знаменатель не равен нулю:
[
z^2 - x - x^2 \neq 0
]
Решим неравенство:
[
x^2 + x - z^2 = 0
]
Для условия, чтобы дробь была определена, дискриминант должен быть меньше нуля:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-z^2) = 1 + 4z^2 > 0
]
Так как дискриминант всегда положителен, функция будет определена во всех ( x ) за исключением случаев, когда либо корни ( x_1 ) или ( x_2 ) будут равны ( z^2 ).
Таким образом, область определения функции не содержит тех ( x ), для которых:
[
x^2 + x - z^2 = 0
]
Решим данное уравнение по ( x ) для нахождения границ. Сами границы можно будет найти, но в общем случае область определения будет следовать из ограничения, где резко меняется состояние функции.
Если вам даны конкретные значения ( z ), мы сможем указать текущее состояние и исключения.
В общем случае, область определения: ( x ) такие, что ( z^2 - x - x^2 \neq 0 ) где могут возникать корни, которые предопределят решение на основе ( z ).
