№1. Найдите углы правильного 12-тиугольника. №2. Пусть а4 - сторона квадрата, R и г - соответственно радиусы описанной около него и вписанной в него окружностей. Найдите а4 R и S,…

Ответы на вопросы:

№1. Углы правильного 12-тиугольника:

Чтобы найти углы правильного 12-тиугольника, можно использовать формулу для нахождения угла многоугольника: \[ \text{Внутренний угол} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}, \] где \( n \) — количество сторон.

Для 12-тиугольника: \[ \text{Внутренний угол} = \frac{(12 - 2) \times 180^\circ}{12} = \frac{10 \times 180^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ. \]

Следовательно, каждый внутренний угол правильного 12-тиугольника равен 150 градусов.

№2. Найдите \( a_4 \), \( R \) и \( S \), если \( r = 2/\sqrt{2} \) см.

Для квадрата, имеющего сторону \( a \), радиусы окружностей описанной и вписанной можно выразить через сторону:

• Радиус вписанной окружности \( r \) — это половина стороны квадрата: \[ r = \frac{a}{2} \]

• Следовательно, если \( r = \frac{2}{\sqrt{2}} \), то \[ a = 2r = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ см}. \]

• Радиус окружности, описанной вокруг квадрата \( R \) равен \( \frac{a \sqrt{2}}{2} \): \[ R = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2 \text{ см}. \]

• Площадь квадрата \( S \): \[ S = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}^2. \]

Таким образом,

• \( a_4 = 2\sqrt{2} \) см,
• \( R = 2 \) см,
• \( S = 8 \) см².

№3. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность правильного треугольника со стороной \( 2\sqrt{3} \) см.

Сначала найдем радиус вписанной окружности \( r \) этого треугольника: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6}, \] где \( a = 2\sqrt{3} \): \[ r = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \cdot 3}{6} = 1 \text{ см}. \]

Радиус описанной окружности \( R \): \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см}. \]

Теперь, если \( r_3 = \frac{R}{2} \) (где \( R \) - радиус окружности, в которую вписан квадрат), то сторона вписанного квадрата \( a_{4} \) вычисляется по формуле: \[ a_4 = r \sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ см}. \]

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в ту же окружность, равна √2 см.