Реши по теореме Вильета x² - 10x + 25 = 0

Для решения уравнения \(x^2 - 10x + 25 = 0\) по теореме Вильета найдем корни уравнения. В данном случае это квадратное уравнение имеет вид: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] где \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 25\). 1. **Находим сумму корней:** По теореме Вильета сумма корней \(S\) (обозначим их \(x_1\) и \(x_2\)) равна: \[ S = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10 \] 2. **Находим произведение корней:** Произведение корней \(P\) равно: \[ P = \frac{c}{a} = \frac{25}{1} = 25 \] Теперь у нас есть система уравнений: \[ x_1 + x_2 = 10 \quad (1) \] \[ x_1 \cdot x_2 = 25 \quad (2) \] 3. Решим систему: Из уравнения (1) выразим \(x_2\): \[ x_2 = 10 - x_1 \] Подставим это выражение в уравнение (2): \[ x_1 (10 - x_1) = 25 \] Раскроем скобки: \[ 10x_1 - x_1^2 = 25 \] Перепишем уравнение: \[ x_1^2 - 10x_1 + 25 = 0 \] Это уравнение совпадает с исходным. 4. Найдем корни: Сначала заметим, что уравнение можно записать в виде полного квадрата: \[ (x_1 - 5)^2 = 0 \] Таким образом, \(x_1 - 5 = 0\), откуда: \[ x_1 = 5 \] Подставляем в (1): \[ x_2 = 10 - x_1 = 10 - 5 = 5 \] Корни уравнения: \[ x_1 = 5, \quad x_2 = 5 \] Таким образом, у уравнения \(x^2 - 10x + 25 = 0\) есть единственный корень \(x = 5\).