Найдите критические точки минимума функции y = 2x^3 – 24x.
Чтобы найти критические точки функции \( y = 2x^3 - 24x \), необходимо сначала найти производную функции и затем определить, при каких значениях \( x \) эта производная равна нулю.
Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 24x) = 6x^2 - 24. \]
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 6x^2 - 24 = 0. \]
Упрощаем уравнение: \[ 6x^2 = 24, \] \[ x^2 = 4, \] \[ x = \pm 2. \]
Теперь у нас есть два критических значения: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
Чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами, можем использовать второй производную: \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(2x^3 - 24x) = 12x. \]
Подставим критические точки в вторую производную:
Для \( x = 2 \): \[ y''(2) = 12 \cdot 2 = 24 > 0 \quad \text{(минимум)} \]
Для \( x = -2 \): \[ y''(-2) = 12 \cdot (-2) = -24 < 0 \quad \text{(максимум)} \]
Таким образом, критическая точка минимума функции \( y = 2x^3 - 24x \) находится в точке \( x = 2 \).
