Стальная рельса длиной 1,00 км закреплена с обоих концов при температуре 20°C. При повышении температуры до 25°C рельса изгибается в дугу вертикального круга. Найдите высоту h в…
Стальная рельса длиной 1,00 км закреплена с обоих концов при температуре 20°C. При повышении температуры до 25°C рельса изгибается в дугу вертикального круга. Найдите высоту h в центре дуги.
Для решения задачи найдем, на сколько длина рельсы изменится при повышении температуры, а затем используем эту информацию для расчета высоты дуги.
Продолжительность рельсы \(L = 1\,000\, \text{м}\).
Коэффициент линейного расширения стали можно принять равным:
\[ \alpha \approx 12 \cdot 10^{-6} \, \text{°C}^{-1}. \]
Температурное изменение:
\[ \Delta T = 25\,°C - 20\,°C = 5\,°C. \]
Изменение длины рельсы при температуре можно вычислить по формуле:
\[ \Delta L = L \cdot \alpha \cdot \Delta T. \]
Подставляем значения:
\[ \Delta L = 1\,000 \, \text{м} \cdot 12 \cdot 10^{-6} \, \text{°C}^{-1} \cdot 5 \,°C = 0.06 \, \text{м} = 6 \, \text{см}. \]
Теперь рельса, зафиксированная с обоих концов, будет изгибаться, и данное удлинение будет представлять собой длину дуги.
Пусть \(R\) - радиус кривизны дуги. В таком случае длина дуги \(L_{\text{дуги}}\) будет равна:
\[ L_{\text{дуги}} = R \cdot \phi, \]
где \(\phi\) - угол в радианах, соответствующий дуге.
Так как рельса зафиксирована с обоих концов, она образует полукруг, тогда \(\phi = \pi\):
\[ L_{\text{дуги}} = R \cdot \pi. \]
Приравниваем длину дуги к изменению длины:
\[ R \cdot \pi = 6 \, \text{см}. \]
Таким образом, получаем:
\[ R = \frac{6 \, \text{см}}{\pi} \approx \frac{6}{3.14} \approx 1.91 \, \text{см}. \]
Теперь найдём высоту \(h\) в центре дуги. Высота центровой линии дуги (где рельса изгибается) равна разности между радиусом и расстоянием от конца дуги до центра дуги. Поскольку этот радиус также равен радиусу \(R\), то высота будет равна:
\[ h = R - R \cdot \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = R - R \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \]
но мы предпочли бы рассчитать для всей длины дуги:
\[ h = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2}. \]
где \(L/2\) - это 3 см.
Подставим:
\[ h = R - \sqrt{R^2 - (3\, \text{см})^2} = 1.91\, \text{см} - \sqrt{(1.91\, \text{см})^2 - (3\, \text{см})^2}. \]
После вычисления получаем:
\[ h \approx \frac{(6)^2 + (1.91)^2}{2(1.91)} \approx 1.91 - 0, \]
поскольку при использовании получится 0.
Таким образом, высота центра дуги:
\[ h \approx 1.91\, \text{см}. \]
Окончательный ответ:
\[ h \approx 1.91 \, \text{см}. \]
