Для решения задачи найдем, на сколько длина рельсы изменится при повышении температуры, а затем используем эту информацию для расчета высоты дуги.
Продолжительность рельсы (L = 1,000, \text{м}).
Коэффициент линейного расширения стали можно принять равным:
[
\alpha \approx 12 \cdot 10^{-6} , \text{°C}^{-1}.
]
Температурное изменение:
[
\Delta T = 25,°C - 20,°C = 5,°C.
]
Изменение длины рельсы при температуре можно вычислить по формуле:
[
\Delta L = L \cdot \alpha \cdot \Delta T.
]
Подставляем значения:
[
\Delta L = 1,000 , \text{м} \cdot 12 \cdot 10^{-6} , \text{°C}^{-1} \cdot 5 ,°C = 0.06 , \text{м} = 6 , \text{см}.
]
Теперь рельса, зафиксированная с обоих концов, будет изгибаться, и данное удлинение будет представлять собой длину дуги.
Пусть (R) - радиус кривизны дуги. В таком случае длина дуги (L_{\text{дуги}}) будет равна:
[
L_{\text{дуги}} = R \cdot \phi,
]
где (\phi) - угол в радианах, соответствующий дуге.
Так как рельса зафиксирована с обоих концов, она образует полукруг, тогда (\phi = \pi):
[
L_{\text{дуги}} = R \cdot \pi.
]
Приравниваем длину дуги к изменению длины:
[
R \cdot \pi = 6 , \text{см}.
]
Таким образом, получаем:
[
R = \frac{6 , \text{см}}{\pi} \approx \frac{6}{3.14} \approx 1.91 , \text{см}.
]
Теперь найдём высоту (h) в центре дуги. Высота центровой линии дуги (где рельса изгибается) равна разности между радиусом и расстоянием от конца дуги до центра дуги. Поскольку этот радиус также равен радиусу (R), то высота будет равна:
[
h = R - R \cdot \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = R - R \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0,
]
но мы предпочли бы рассчитать для всей длины дуги:
[
h = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2}.
]
где (L/2) - это 3 см.
Подставим:
[
h = R - \sqrt{R^2 - (3, \text{см})^2} = 1.91, \text{см} - \sqrt{(1.91, \text{см})^2 - (3, \text{см})^2}.
]
После вычисления получаем:
[
h \approx \frac{(6)^2 + (1.91)^2}{2(1.91)} \approx 1.91 - 0,
]
поскольку при использовании получится 0.
Таким образом, высота центра дуги:
[
h \approx 1.91, \text{см}.
]
Окончательный ответ:
[
h \approx 1.91 , \text{см}.
]
