Задача №9. Петя и Вася играют в игру. Изначально на доске написано число s. За один ход разрешается к написанному на доске числу прибавить 20 или умножить его на 25 , старое число стереть и вместо него написать результат своих вычислений. Побеждает тот, после чьего хода на доске впервые окажется число 2025 или больше. Первым ходит Петя. При каком наибольшем s Петя не сможет выиграть за один ход, но точно выиграет за два? Варианты ответа: A) 3 Б) 60 B) 61 Г) 81

Для решения задачи, давайте проанализируем возможные ходы и достижения цели 2025. Петя начинает с числа \( s \) и может либо прибавить 20, либо умножить на 25. Его цель — добиться числа 2025 или больше за один ход. Если он прибавляет 20: - Новый результат: \( s + 20 \) Если он умножает на 25: - Новый результат: \( 25s \) Теперь давайте рассмотрим, чтобы Петя не выиграл за один ход, требуется, чтобы ни \( s + 20 \), ни \( 25s \) не были равны или больше 2025. Таким образом: 1. \( s + 20 < 2025 \) ⟹ \( s < 2005 \) 2. \( 25s < 2025 \) ⟹ \( s < 81 \) Таким образом, максимальное значение \( s \), при котором Петя не может выиграть за один ход, равно 80 (максимум, удовлетворяющее условию \( s < 81 \)). Теперь, чтобы убедиться, что Петя выиграет за два хода, рассмотрим наибольшее значение \( s \), которое удовлетворяет этому критерию. Он должен сделать ход, после которого Вася также не сможет одержать победу в свой ход. Если у Пети на первом ходе будет 80: 1. Если он прибавит 20, то получит 100 (сразу меньше 2025). 2. Однако, если он умножит на 25, то получит 2000. Это также меньше 2025. Теперь проверим, что может сделать Вася: - Если Вася прибавит 20 к 2000, он получит 2020, что всё ещё меньше 2025. - Если Вася умножит на 25, то получит 50000, что больше 2025. Следовательно, если с \( s = 80 \) Петя может выиграть на следующем ходе. Теперь проверим случай с \( s = 61 \) и \( s = 60 \): - Если \( s = 61 \): 1. Петя может сделать 61 + 20 = 81 (меньше 2025) или 25 * 61 = 1525 (меньше 2025). 2. Вася на 81 может сделать: прибавить 20 (101) или умножить на 25 (2025), что будет победой для Васи. - Если \( s = 60 \) : 1. Петя делает 60 + 20 = 80 или умножает на 25 и получает 1500. 2. Вася может сделать – 80 + 20 = 100 или 25 * 80 = 2000, затем он также не может выиграть сразу, если Петя сделает следующий ход на 100 - он не сможет вернуться к 2025. Таким образом, единственным значением, при котором Петя не сможет выиграть за один ход, но обязательно выиграет за два — это: **Ответ: 61 (вариант Б)**.