Задача №9. Петя и Вася играют в игру. Изначально на доске написано число s. За один ход разрешается к написанному на доске числу прибавить 20 или умножить его на 25 , старое число…
Задача №9. Петя и Вася играют в игру. Изначально на доске написано число s. За один ход разрешается к написанному на доске числу прибавить 20 или умножить его на 25 , старое число стереть и вместо него написать результат своих вычислений. Побеждает тот, после чьего хода на доске впервые окажется число 2025 или больше. Первым ходит Петя. При каком наибольшем s Петя не сможет выиграть за один ход, но точно выиграет за два? Варианты ответа: A) 3 Б) 60 B) 61 Г) 81
Для решения задачи, давайте проанализируем возможные ходы и достижения цели 2025.
Петя начинает с числа \( s \) и может либо прибавить 20, либо умножить на 25. Его цель — добиться числа 2025 или больше за один ход.
Если он прибавляет 20:
- Новый результат: \( s + 20 \)
Если он умножает на 25:
- Новый результат: \( 25s \)
Теперь давайте рассмотрим, чтобы Петя не выиграл за один ход, требуется, чтобы ни \( s + 20 \), ни \( 25s \) не были равны или больше 2025. Таким образом:
- \( s + 20 < 2025 \) ⟹ \( s < 2005 \)
- \( 25s < 2025 \) ⟹ \( s < 81 \)
Таким образом, максимальное значение \( s \), при котором Петя не может выиграть за один ход, равно 80 (максимум, удовлетворяющее условию \( s < 81 \)).
Теперь, чтобы убедиться, что Петя выиграет за два хода, рассмотрим наибольшее значение \( s \), которое удовлетворяет этому критерию. Он должен сделать ход, после которого Вася также не сможет одержать победу в свой ход.
Если у Пети на первом ходе будет 80:
- Если он прибавит 20, то получит 100 (сразу меньше 2025).
- Однако, если он умножит на 25, то получит 2000. Это также меньше 2025.
Теперь проверим, что может сделать Вася:
- Если Вася прибавит 20 к 2000, он получит 2020, что всё ещё меньше 2025.
- Если Вася умножит на 25, то получит 50000, что больше 2025.
Следовательно, если с \( s = 80 \) Петя может выиграть на следующем ходе.
Теперь проверим случай с \( s = 61 \) и \( s = 60 \):
Если \( s = 61 \):
- Петя может сделать 61 + 20 = 81 (меньше 2025) или 25 * 61 = 1525 (меньше 2025).
- Вася на 81 может сделать: прибавить 20 (101) или умножить на 25 (2025), что будет победой для Васи.
Если \( s = 60 \) :
- Петя делает 60 + 20 = 80 или умножает на 25 и получает 1500.
- Вася может сделать – 80 + 20 = 100 или 25 * 80 = 2000, затем он также не может выиграть сразу, если Петя сделает следующий ход на 100 - он не сможет вернуться к 2025.
Таким образом, единственным значением, при котором Петя не сможет выиграть за один ход, но обязательно выиграет за два — это: Ответ: 61 (вариант Б).
