В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна ( a + b = 1.4 , \text{мм} ), где ( a ) и ( b ) — длины катетов. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника также выполняется равенство:
[
a^2 + b^2 = c^2,
]
где ( c ) — длина гипотенузы. В вашем случае ( c = 1 , \text{мм} ).
Подставим известные значения в уравнение Пифагора:
[
a^2 + b^2 = 1^2 = 1.
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a + b = 1.4 )
- ( a^2 + b^2 = 1 )
Решим первое уравнение относительно одного из катетов:
[
b = 1.4 - a.
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
a^2 + (1.4 - a)^2 = 1.
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + (1.96 - 2.8a + a^2) = 1,
]
что упрощается до:
[
2a^2 - 2.8a + 1.96 - 1 = 0,
]
или
[
2a^2 - 2.8a + 0.96 = 0.
]
Умножим уравнение на 10 для удобства работы с коэффициентами:
[
20a^2 - 28a + 9.6 = 0.
]
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
]
Здесь ( a = 20, b = -28, c = 9.6 ).
Посчитаем дискриминант:
[
D = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 9.6 = 784 - 768 = 16.
]
Теперь найдем корни:
[
a = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{40} = \frac{28 \pm 4}{40}.
]
Это дает нам два значения:
- ( a_1 = \frac{32}{40} = 0.8 )
- ( a_2 = \frac{24}{40} = 0.6 )
Теперь найдем соответствующее значение для ( b ):
- Если ( a = 0.8 ), то ( b = 1.4 - 0.8 = 0.6 ).
- Если ( a = 0.6 ), то ( b = 1.4 - 0.6 = 0.8 ).
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 0.6 мм и 0.8 мм.
