чему равны катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 1,4мм а гипотенуза данного треугольника равна 1мм?
В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна \( a + b = 1.4 \, \text{мм} \), где \( a \) и \( b \) — длины катетов. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника также выполняется равенство:
\[ a^2 + b^2 = c^2, \]
где \( c \) — длина гипотенузы. В вашем случае \( c = 1 \, \text{мм} \).
Подставим известные значения в уравнение Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = 1^2 = 1. \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a + b = 1.4 \)
- \( a^2 + b^2 = 1 \)
Решим первое уравнение относительно одного из катетов:
\[ b = 1.4 - a. \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[ a^2 + (1.4 - a)^2 = 1. \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (1.96 - 2.8a + a^2) = 1, \]
что упрощается до:
\[ 2a^2 - 2.8a + 1.96 - 1 = 0, \]
или
\[ 2a^2 - 2.8a + 0.96 = 0. \]
Умножим уравнение на 10 для удобства работы с коэффициентами:
\[ 20a^2 - 28a + 9.6 = 0. \]
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]
Здесь \( a = 20, b = -28, c = 9.6 \).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 9.6 = 784 - 768 = 16. \]
Теперь найдем корни:
\[ a = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{40} = \frac{28 \pm 4}{40}. \]
Это дает нам два значения:
- \( a_1 = \frac{32}{40} = 0.8 \)
- \( a_2 = \frac{24}{40} = 0.6 \)
Теперь найдем соответствующее значение для \( b \):
- Если \( a = 0.8 \), то \( b = 1.4 - 0.8 = 0.6 \).
- Если \( a = 0.6 \), то \( b = 1.4 - 0.6 = 0.8 \).
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 0.6 мм и 0.8 мм.
