Обозначим скорость скорого поезда как ( v ) (км/ч). Тогда скорость товарного поезда будет ( v - 20 ) (км/ч).
Согласно условию задачи, старый поезд прошел расстояние 400 км на 1 час быстрее, чем товарный поезд.
Время, за которое старый поезд проходит 400 км, можно выразить через скорость скорого поезда:
[
t_{скорого} = \frac{400}{v}
]
А время, за которое товарный поезд проходит то же расстояние:
[
t_{товарного} = \frac{400}{v - 20}
]
Условие задачи дает нам соотношение:
[
t_{товарного} - t_{скорого} = 1
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{400}{v - 20} - \frac{400}{v} = 1
]
Умножим на ( v(v - 20) ) чтобы избавиться от дробей:
[
400v - 400(v - 20) = v(v - 20)
]
Упростим:
[
400v - 400v + 8000 = v^2 - 20v
]
[
8000 = v^2 - 20v
]
[
v^2 - 20v - 8000 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400
]
[
\sqrt{D} = 180
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm 180}{2}
]
Рассмотрим два варианта:
- ( v = \frac{200}{2} = 100 ) км/ч
- ( v = \frac{-160}{2} = -80 ) км/ч (отрицательное значение не имеет физического смысла)
Таким образом, скорость скорого поезда равна 100 км/ч. Скорость товарного поезда:
[
v - 20 = 100 - 20 = 80 \text{ км/ч}
]
Ответ: скорость скорого поезда 100 км/ч, скорость товарного поезда 80 км/ч.
