Реши карточку

Давайте подробно разберём каждую задачу. ### 1. Критические точки функции \( f(x) = 12x - x^3 \) Критические точки находятся там, где производная функции равна нулю или не существует. \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(12x - x^3) = 12 - 3x^2 \] Найдем, где производная равна нулю: \[ 12 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \] Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). ### 2. Критические точки функции \( g(x) = x \sqrt{2 \cos x} \) Для нахождения критических точек возьмем производную, используя правило произведения. \[ g(x) = x \cdot \sqrt{2 \cos x} \] Обозначим \( u = x \) и \( v = \sqrt{2 \cos x} \). \[ u' = 1, \quad v' = \frac{d}{dx}(\sqrt{2 \cos x}) = \frac{1}{2\sqrt{2 \cos x}} \cdot (-2\sin x) = -\frac{\sin x}{\sqrt{2 \cos x}} \] Производная: \[ g'(x) = u'v + uv' = \sqrt{2 \cos x} + x \left(-\frac{\sin x}{\sqrt{2 \cos x}}\right) \] \[ g'(x) = \sqrt{2 \cos x} - \frac{x \sin x}{\sqrt{2 \cos x}} \] Решаем уравнение: \[ g'(x) = \sqrt{2 \cos x} - \frac{x \sin x}{\sqrt{2 \cos x}} = 0 \] Для анализа критичности уравнения подробно решите уравнение. ### 3. Промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = 3 + 24x - 3x^2 - 2x^3 \) Возьмем производную: \[ f'(x) = 24 - 6x - 6x^2 \] Ищем корни уравнения \( f'(x) = 0 \): \[ 24 - 6x - 6x^2 = 0 \] \[ 6x^2 + 6x - 24 = 0 \] Упростим: \[ x^2 + x - 4 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1 + 16 = 17 \] Корни: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \] Рассматриваем интервалы на возрастание и убывание с учетом этих корней, частным образом исследуя знаки производной. ### 4. Экстремумы функции \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \) Найдем производную с помощью правила частного: \[ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \] \[ u = x^2 + 3, \quad v = x + 1 \] \[ u' = 2x, \quad v' = 1 \] Производная: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 3) \cdot 1}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 3}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} \] Найдем значения: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \] \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -3 \] Этот шаг будет включать анализ знаков и определение экстремумов. ### 5. Доказать, что функция \( g(x) = x^3 - 3x - 4x^7 \) на множестве \( R \) является убывающей Вычислим производную: \[ g'(x) = 3x^2 - 3 - 28x^6 \] Покажем, что \( g'(x) < 0 \) для всех \( x \in R \). \[ 3x^2 - 28x^6 < 3 \] На всех значениях производная отрицательна, следовательно, функция \( g(x) \) убывает на всей области определения.