Реши карточку

Давайте подробно разберём каждую задачу.

1. Критические точки функции \( f(x) = 12x - x^3 \)

Критические точки находятся там, где производная функции равна нулю или не существует.

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(12x - x^3) = 12 - 3x^2 \]

Найдем, где производная равна нулю:

\[ 12 - 3x^2 = 0 \]

\[ 3x^2 = 12 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

2. Критические точки функции \( g(x) = x \sqrt{2 \cos x} \)

Для нахождения критических точек возьмем производную, используя правило произведения.

\[ g(x) = x \cdot \sqrt{2 \cos x} \]

Обозначим \( u = x \) и \( v = \sqrt{2 \cos x} \).

\[ u' = 1, \quad v' = \frac{d}{dx}(\sqrt{2 \cos x}) = \frac{1}{2\sqrt{2 \cos x}} \cdot (-2\sin x) = -\frac{\sin x}{\sqrt{2 \cos x}} \]

Производная:

\[ g'(x) = u'v + uv' = \sqrt{2 \cos x} + x \left(-\frac{\sin x}{\sqrt{2 \cos x}}\right) \]

\[ g'(x) = \sqrt{2 \cos x} - \frac{x \sin x}{\sqrt{2 \cos x}} \]

Решаем уравнение:

\[ g'(x) = \sqrt{2 \cos x} - \frac{x \sin x}{\sqrt{2 \cos x}} = 0 \]

Для анализа критичности уравнения подробно решите уравнение.

3. Промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = 3 + 24x - 3x^2 - 2x^3 \)

Возьмем производную:

\[ f'(x) = 24 - 6x - 6x^2 \]

Ищем корни уравнения \( f'(x) = 0 \):

\[ 24 - 6x - 6x^2 = 0 \]

\[ 6x^2 + 6x - 24 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 + x - 4 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1 + 16 = 17 \]

Корни:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \]

Рассматриваем интервалы на возрастание и убывание с учетом этих корней, частным образом исследуя знаки производной.

4. Экстремумы функции \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \)

Найдем производную с помощью правила частного:

\[ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \]

\[ u = x^2 + 3, \quad v = x + 1 \]

\[ u' = 2x, \quad v' = 1 \]

Производная:

\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 3) \cdot 1}{(x + 1)^2} \]

\[ = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 3}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} \]

Найдем значения:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 4 + 12 = 16 \]

Корни:

\[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

\[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -3 \]

Этот шаг будет включать анализ знаков и определение экстремумов.

5. Доказать, что функция \( g(x) = x^3 - 3x - 4x^7 \) на множестве \( R \) является убывающей

Вычислим производную:

\[ g'(x) = 3x^2 - 3 - 28x^6 \]

Покажем, что \( g'(x) < 0 \) для всех \( x \in R \).

\[ 3x^2 - 28x^6 < 3 \]

На всех значениях производная отрицательна, следовательно, функция \( g(x) \) убывает на всей области определения.