Значение выражения

Для решения выражения \(2^{(3\sqrt{7} - 1)} \cdot 8^{(1-\sqrt{7})}\) нужно осуществить преобразования, чтобы упростить вычисления.

Шаг 1: Представление основания в виде степени двойки

Заметим, что \(8 = 2^3\). Поэтому можем переписать выражение следующим образом: \[ 2^{(3\sqrt{7} - 1)} \cdot (2^3)^{(1-\sqrt{7})} \]

Шаг 2: Применение свойства степеней

Используем свойство степеней: \((a^m)^n = a^{mn}\). Тогда: \[ (2^3)^{(1-\sqrt{7})} = 2^{3(1-\sqrt{7})} = 2^{3 - 3\sqrt{7}} \]

Теперь выражение стало: \[ 2^{(3\sqrt{7} - 1)} \cdot 2^{(3 - 3\sqrt{7})} \]

Шаг 3: Объединение степеней

Так как основания одинаковые, можно сложить экспоненты: \[ 2^{(3\sqrt{7} - 1) + (3 - 3\sqrt{7})} \]

Шаг 4: Упрощение экспоненты

Складываем экспоненты: \[ (3\sqrt{7} - 1) + (3 - 3\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 1 + 3 - 3\sqrt{7} = 2 \]

Таким образом, все выражение упрощается до: \[ 2^2 \]

Шаг 5: Вычисление результата

Рассчитываем значение \(2^2\): \[ 2^2 = 4 \]

Итак, значение выражения равно \(4\).