Найдите сумму
Чтобы найти сумму выражения, давайте разберем его шаг за шагом.
Нам дано выражение:
\[ \left( 2 + \frac{1}{4} \right)^2 + \left( 4 + \frac{1}{8} \right)^2 + \left( 8 + \frac{1}{16} \right)^2 + \left( 16 + \frac{1}{32} \right)^2 + \left( 32 + \frac{1}{64} \right)^2 \]
Рассчитаем каждое слагаемое в отдельности.
\[ \left( 2 + \frac{1}{4} \right)^2 = \left( \frac{8}{4} + \frac{1}{4} \right)^2 = \left( \frac{9}{4} \right)^2 = \frac{81}{16} \]
\[ \left( 4 + \frac{1}{8} \right)^2 = \left( \frac{32}{8} + \frac{1}{8} \right)^2 = \left( \frac{33}{8} \right)^2 = \frac{1089}{64} \]
\[ \left( 8 + \frac{1}{16} \right)^2 = \left( \frac{128}{16} + \frac{1}{16} \right)^2 = \left( \frac{129}{16} \right)^2 = \frac{16641}{256} \]
\[ \left( 16 + \frac{1}{32} \right)^2 = \left( \frac{512}{32} + \frac{1}{32} \right)^2 = \left( \frac{513}{32} \right)^2 = \frac{263169}{1024} \]
\[ \left( 32 + \frac{1}{64} \right)^2 = \left( \frac{2048}{64} + \frac{1}{64} \right)^2 = \left( \frac{2049}{64} \right)^2 = \frac{4192201}{4096} \]
Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их.
Общий знаменатель для , 16, 64, 256, 1024, 4096 — это 4096.
- \(\frac{81}{16} \rightarrow \frac{20664}{4096}\)
- \(\frac{1089}{64} \rightarrow \frac{69696}{4096}\)
- \(\frac{16641}{256} \rightarrow \frac{266256}{4096}\)
- \(\frac{263169}{1024} \rightarrow \frac{1052676}{4096}\)
- \(\frac{4192201}{4096}\)
Сложим дроби:
\[ \frac{20664 + 69696 + 266256 + 1052676 + 4192201}{4096} = \frac{5608493}{4096} \]
Таким образом, сумма выражения равна \(\frac{5608493}{4096}\).
