Ответ

Для решения задачи используем формулу Бернулли, которая применяется для нахождения вероятности определенного числа успехов в серии независимых испытаний.

Формула Бернулли выглядит так:

\[ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( P(k) \) — вероятность \( k \) успехов,
• \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов.

В нашей задаче:

• \( n = 4 \) (четыре испытания),
• \( p = 0.1 \) (вероятность успеха в одном испытании),
• мы ищем вероятность хотя бы одного успеха, то есть суммы вероятностей от одного до четырёх успехов.

Вместо того чтобы считать отдельно для \( k = 1, 2, 3, 4 \), проще найти вероятность противоположного события (нулевых успехов) и вычесть её из единицы.

1. Найдем вероятность нуля успехов (\( k = 0 \)):

\[ P(0) = C_4^0 \cdot (0.1)^0 \cdot (1-0.1)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.9^4 = 0.6561 \]

2. Найдем вероятность хотя бы одного успеха:

\[ P(\text{хотя бы один успех}) = 1 - P(0) = 1 - 0.6561 = 0.3439 \]

Таким образом, вероятность хотя бы одного успеха в серии из 4 испытаний равна 0.3439.