Вычислите скалярное произведение векторов m и n, если |m|=3;|n|=4, а угол между ними равен 135°

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \), используем формулу:

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}| \cdot \cos(\theta) \]

где:

• \( |\mathbf{m}| \) — длина вектора \( \mathbf{m} \),
• \( |\mathbf{n}| \) — длина вектора \( \mathbf{n} \),
• \( \theta \) — угол между векторами.

Дано:

• \( |\mathbf{m}| = 3 \),
• \( |\mathbf{n}| = 4 \),
• \( \theta = 135° \).

Теперь подставим известные значения в формулу.

1. Сначала найдем \( \cos(135°) \). Зная, что угол 135° находится во втором квадранте, мы можем воспользоваться тем, что:

\[ \cos(135°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Теперь подставим все значения в формулу:

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(135°) \]

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

3. Упростим выражение:

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 12 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6\sqrt{2} \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равно:

\[ \boxed{-6\sqrt{2}} \]