Вычислите косинус угла между векторами a и b, если а{-12;5}, b{3;4}

Чтобы вычислить косинус угла между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), можно воспользоваться следующей формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

где:

• \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \),
• \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов,
• \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины (модули) векторов.

Шаг 1: Вычислим скалярное произведение

Векторы заданы как: \[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -12 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Скалярное произведение вычисляется по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \] где \( a_1 \) и \( a_2 \) — координаты вектора \( \mathbf{a} \), а \( b_1 \) и \( b_2 \) — координаты вектора \( \mathbf{b} \).

Подставим значения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-12) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -36 + 20 = -16 \]

Шаг 2: Вычислим длины векторов

Длина вектора \( |\mathbf{a}| \) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] Подставим: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]

Аналогично для вектора \( |\mathbf{b}| \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Шаг 3: Подставим все значения в формулу косинуса

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{-16}{13 \cdot 5} = \frac{-16}{65} \]

Ответ

Таким образом, косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен: \[ \cos(\theta) = -\frac{16}{65} \]

Этот результат указывает на то, что угол между векторами больше 90 градусов, поскольку косинус отрицателен.