Задача 1: Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность
Дано:
- Периметр правильного пятиугольника (П) = 6 дм
Мы хотим найти сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, в которую вписан пятиугольник.
Шаг 1: Находим радиус описанной окружности
Периметр правильного пятиугольника равен (5 \times a), где (a) — длина стороны пятиугольника. Таким образом,
[
5a = 6 \text{ дм} \implies a = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ дм}.
]
Шаг 2: Находим радиус окружности (R)
Для правильного пятиугольника, длина стороны ((a)) и радиус описанной окружности ((R)) связаны формулой:
[
R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{5})}.
]
Подставляем (a = 1.2):
[
R = \frac{1.2}{2 \sin(\frac{\pi}{5})} = \frac{1.2}{2 \times 0.5878} \approx \frac{1.2}{1.1756} \approx 1.0204 \text{ дм}.
]
Шаг 3: Находим сторону правильного треугольника
Длина стороны правильного треугольника ((b)), вписанного в ту же окружность, связана с радиусом окружности следующим образом:
[
b = R \times 2 \sin(\frac{\pi}{3}).
]
Где:
(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866).
Теперь подставляем значение (R):
[
b \approx 1.0204 \times 2 \times 0.866 \approx 1.0204 \times 1.732 \approx 1.768 \text{ дм}.
]
Ответ:
Сторона правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, примерно равна 1.768 дм.
Задача 2: Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями
Дано:
- Площадь кольца = (45\pi , \text{м}^2)
- Радиус меньшей окружности (r) = 3 м
Мы ищем радиус большей окружности (R).
Шаг 1: Формула для площади кольца
Площадь кольца определяется как разность площадей двух окружностей:
[
S = \pi R^2 - \pi r^2.
]
Шаг 2: Подставим известные значения
[
45\pi = \pi R^2 - \pi (3^2).
]
Упростим уравнение, разделив обе стороны на (\pi):
[
45 = R^2 - 9.
]
Шаг 3: Найдем (R^2)
Добавим 9 к обеим сторонам:
[
R^2 = 45 + 9 = 54.
]
Шаг 4: Найдем радиус (R)
Теперь извлечем квадратный корень:
[
R = \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6} \approx 7.348 , \text{м}.
]
Ответ:
Радиус большей окружности примерно равен 3√6 м или 7.348 м.
