Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен 6 дм. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Площадь кольца, ограниченного…
Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен 6 дм. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45π м2, а радиус меньшей окружности равен 3 м. Найдите радиус большей окружности.
Задача 1: Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность
Дано:
- Периметр правильного пятиугольника (П) = 6 дм
Мы хотим найти сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, в которую вписан пятиугольник.
Шаг 1: Находим радиус описанной окружности
Периметр правильного пятиугольника равен \(5 \times a\), где \(a\) — длина стороны пятиугольника. Таким образом,
\[ 5a = 6 \text{ дм} \implies a = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ дм}. \]
Шаг 2: Находим радиус окружности (R)
Для правильного пятиугольника, длина стороны (\(a\)) и радиус описанной окружности (\(R\)) связаны формулой:
\[ R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{5})}. \]
Подставляем \(a = 1.2\):
\[ R = \frac{1.2}{2 \sin(\frac{\pi}{5})} = \frac{1.2}{2 \times 0.5878} \approx \frac{1.2}{1.1756} \approx 1.0204 \text{ дм}. \]
Шаг 3: Находим сторону правильного треугольника
Длина стороны правильного треугольника (\(b\)), вписанного в ту же окружность, связана с радиусом окружности следующим образом:
\[ b = R \times 2 \sin(\frac{\pi}{3}). \]
Где:
\(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\).
Теперь подставляем значение \(R\):
\[ b \approx 1.0204 \times 2 \times 0.866 \approx 1.0204 \times 1.732 \approx 1.768 \text{ дм}. \]
Ответ:
Сторона правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, примерно равна 1.768 дм.
Задача 2: Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями
Дано:
- Площадь кольца = \(45\pi \, \text{м}^2\)
- Радиус меньшей окружности (r) = 3 м
Мы ищем радиус большей окружности (R).
Шаг 1: Формула для площади кольца
Площадь кольца определяется как разность площадей двух окружностей:
\[ S = \pi R^2 - \pi r^2. \]
Шаг 2: Подставим известные значения
\[ 45\pi = \pi R^2 - \pi (3^2). \]
Упростим уравнение, разделив обе стороны на \(\pi\):
\[ 45 = R^2 - 9. \]
Шаг 3: Найдем \(R^2\)
Добавим 9 к обеим сторонам:
\[ R^2 = 45 + 9 = 54. \]
Шаг 4: Найдем радиус \(R\)
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ R = \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6} \approx 7.348 \, \text{м}. \]
Ответ:
Радиус большей окружности примерно равен 3√6 м или 7.348 м.
