площадь поверхности шара 64. на расстоянии 3/2√π от центра шара проведена плоскость. найдите площадь полученного сечения
Для решения задачи сначала найдем радиус шара, используя данные о площади его поверхности.
Шаг 1: Вычисление радиуса шара
Формула для площади поверхности шара:
\[ S = 4\pi r^2 \]
где \( S \) — площадь поверхности, \( r \) — радиус шара.
Из условия известно, что площадь поверхности шара равна 64, т.е.:
\[ 4\pi r^2 = 64 \]
Теперь, разделим обе стороны на \( 4\pi \):
\[ r^2 = \frac{64}{4\pi} = \frac{16}{\pi} \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \]
Шаг 2: Определение расстояния от центра до плоскости
В условии задачи сказано, что плоскость проведена на расстоянии \( \frac{3}{2\sqrt{\pi}} \) от центра шара.
Шаг 3: Нахождение радиуса сечения
Радиус сечения, образованного плоскостью, можно найти с помощью следующей формулы:
\[ R = \sqrt{r^2 - d^2} \]
где:
- \( r \) — радиус шара,
- \( d \) — расстояние от центра шара до плоскости.
Подставим известные значения:
- \( r = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \),
- \( d = \frac{3}{2\sqrt{\pi}} \).
Теперь найдем \( r^2 \) и \( d^2 \):
\[ r^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{16}{\pi} \]
\[ d^2 = \left(\frac{3}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{9}{4\pi} \]
Теперь можем найти \( R^2 \):
\[ R^2 = r^2 - d^2 = \frac{16}{\pi} - \frac{9}{4\pi} \]
Найдем общий знаменатель:
\[ R^2 = \frac{64}{4\pi} - \frac{9}{4\pi} = \frac{64 - 9}{4\pi} = \frac{55}{4\pi} \]
Теперь найдем радиус сечения \( R \):
\[ R = \sqrt{\frac{55}{4\pi}} = \frac{\sqrt{55}}{2\sqrt{\pi}} \]
Шаг 4: Нахождение площади сечения
Площадь круга (сечения) рассчитывается по формуле:
\[ S_{\text{сечения}} = \pi R^2 \]
Подставим \( R^2 \):
\[ S_{\text{сечения}} = \pi \cdot \left(\frac{55}{4\pi}\right) = \frac{55}{4} \]
Ответ
Таким образом, площадь полученного сечения равна \( \frac{55}{4} \) или 13.75 квадратных единиц.
