Для решения задачи сначала найдем радиус шара, используя данные о площади его поверхности.
Шаг 1: Вычисление радиуса шара
Формула для площади поверхности шара:
[
S = 4\pi r^2
]
где ( S ) — площадь поверхности, ( r ) — радиус шара.
Из условия известно, что площадь поверхности шара равна 64, т.е.:
[
4\pi r^2 = 64
]
Теперь, разделим обе стороны на ( 4\pi ):
[
r^2 = \frac{64}{4\pi} = \frac{16}{\pi}
]
Теперь извлечем квадратный корень:
[
r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}}
]
Шаг 2: Определение расстояния от центра до плоскости
В условии задачи сказано, что плоскость проведена на расстоянии ( \frac{3}{2\sqrt{\pi}} ) от центра шара.
Шаг 3: Нахождение радиуса сечения
Радиус сечения, образованного плоскостью, можно найти с помощью следующей формулы:
[
R = \sqrt{r^2 - d^2}
]
где:
- ( r ) — радиус шара,
- ( d ) — расстояние от центра шара до плоскости.
Подставим известные значения:
- ( r = \frac{4}{\sqrt{\pi}} ),
- ( d = \frac{3}{2\sqrt{\pi}} ).
Теперь найдем ( r^2 ) и ( d^2 ):
[
r^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{16}{\pi}
]
[
d^2 = \left(\frac{3}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{9}{4\pi}
]
Теперь можем найти ( R^2 ):
[
R^2 = r^2 - d^2 = \frac{16}{\pi} - \frac{9}{4\pi}
]
Найдем общий знаменатель:
[
R^2 = \frac{64}{4\pi} - \frac{9}{4\pi} = \frac{64 - 9}{4\pi} = \frac{55}{4\pi}
]
Теперь найдем радиус сечения ( R ):
[
R = \sqrt{\frac{55}{4\pi}} = \frac{\sqrt{55}}{2\sqrt{\pi}}
]
Шаг 4: Нахождение площади сечения
Площадь круга (сечения) рассчитывается по формуле:
[
S_{\text{сечения}} = \pi R^2
]
Подставим ( R^2 ):
[
S_{\text{сечения}} = \pi \cdot \left(\frac{55}{4\pi}\right) = \frac{55}{4}
]
Ответ
Таким образом, площадь полученного сечения равна ( \frac{55}{4} ) или 13.75 квадратных единиц.
