иследовать функцию f(x)=x³-1/4x²

Для того чтобы исследовать функцию \( f(x) = x^3 - \frac{1}{4}x^2 \), мы пройдём через несколько шагов, включая нахождение производной, определение критических точек, исследование знаков производной и анализ поведения функции.

Шаг 1: Нахождение производной

Сначала найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^2\right) \]

Производная каждого слагаемого:

\[ f'(x) = 3x^2 - \frac{1}{2}x \]

Шаг 2: Нахождение критических точек

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Приведем уравнение \( f'(x) = 0 \):

\[ 3x^2 - \frac{1}{2}x = 0 \]

Можно вынести общий множитель \( x \):

\[ x(3x - \frac{1}{2}) = 0 \]

Это уравнение даёт два решения:

1. \( x = 0 \)
2. \( 3x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{6} \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{6} \).

Шаг 3: Исследование знаков производной

Теперь исследуем, где функция возрастает или убывает. Для этого определим знаки производной на интервалах, которые образуются критическими точками:

• Интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{1}{6}) \), \( (\frac{1}{6}, +\infty) \)

Проверим знак производной в каждом интервале:

1. На интервале \( (-\infty, 0) \): выберем \( x = -1 \) \[ f'(-1) = 3(-1)^2 - \frac{1}{2}(-1) = 3 + \frac{1}{2} = 3.5 > 0 \] (Функция возрастает)

2. На интервале \( (0, \frac{1}{6}) \): выберем \( x = \frac{1}{12} \) \[ f'(\frac{1}{12}) = 3\left(\frac{1}{12}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}\right) = \frac{3}{144} - \frac{1}{24} = \frac{3}{144} - \frac{6}{144} = -\frac{3}{144} < 0 \] (Функция убывает)

3. На интервале \( (\frac{1}{6}, +\infty) \): выберем \( x = 1 \) \[ f'(1) = 3(1^2) - \frac{1}{2}(1) = 3 - \frac{1}{2} = 2.5 > 0 \] (Функция возрастает)

Шаг 4: Определение экстремумов

Теперь мы знаем поведение функции на интервалах:

• На \( (-\infty, 0) \): функция возрастает
• На \( (0, \frac{1}{6}) \): функция убывает, значит, в \( x = 0 \) — максимальная точка
• На \( (\frac{1}{6}, +\infty) \): функция возрастает, значит, в \( x = \frac{1}{6} \) — минимальная точка

Шаг 5: Значения функции в критических точках

Посчитаем значения функции в \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{6} \):

1. \( f(0) = 0^3 - \frac{1}{4}(0^2) = 0 \)
2. \( f\left(\frac{1}{6}\right) = \left(\frac{1}{6}\right)^3 - \frac{1}{4}\left(\frac{1}{6}\right)^2 \) \[ = \frac{1}{216} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{216} - \frac{1}{144} = \frac{1}{216} - \frac{1.5}{216} = -\frac{0.5}{216} = -\frac{1}{432} \]

Шаг 6: Поведение на границах

Если проанализировать поведение при стремлении \( x \) к бесконечности и к минус бесконечности:

• \( x \to -\infty: f(x) \to -\infty \)
• \( x \to +\infty: f(x) \to +\infty \)

Итог

1. Функция имеет максимум в точке \( (0, 0) \) и минимум в точке \( \left(\frac{1}{6}, -\frac{1}{432}\right) \).
2. Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( \left(\frac{1}{6}, +\infty\right) \) и убывает на интервале \( (0, \frac{1}{6}) \).

Таким образом, мы исследовали функцию \( f(x) = x^3 - \frac{1}{4}x^2 \) и выяснили её ключевые характеристики.