Является ли функция F(x)=x^4-3x^2+1 первообразной функции f(x)=4x^3-x^2+x
Чтобы определить, является ли функция \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 1 \) первообразной функции \( f(x) = 4x^3 - x^2 + x \), нам необходимо найти производную функции \( F(x) \) и посмотреть, равна ли она функции \( f(x) \).
Шаг 1: Находим производную функции \( F(x) \)
Функция \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 1 \).
Чтобы найти производную \( F'(x) \), используем правила дифференцирования:
- Производная \( x^n \) равна \( n \cdot x^{n-1} \).
- Производная константы равна нулю.
Теперь вычислим производную:
\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(1) \] \[ F'(x) = 4x^3 - 6x + 0 \] \[ F'(x) = 4x^3 - 6x \]
Шаг 2: Сравниваем \( F'(x) \) с \( f(x) \)
Теперь у нас есть:
\[ F'(x) = 4x^3 - 6x \] \[ f(x) = 4x^3 - x^2 + x \]
Шаг 3: Проверяем, равны ли функции
Мы видим, что \( F'(x) \) и \( f(x) \) не равны, так как в \( f(x) \) присутствует \( -x^2 \) и \( +x \), которые отсутствуют в \( F'(x) \). Чтобы быть точными, мы можем сделать сопоставление:
- Член \( 4x^3 \) совпадает в обеих функциях.
- Однако \( -6x \) в \( F'(x) \) не равен \( -x^2 + x \) в \( f(x) \).
Вывод
Таким образом, функция \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 1 \) не является первообразной функции \( f(x) = 4x^3 - x^2 + x \), так как их производные не равны.
