Решите уравнение x⁴+4x²-12=0

Для решения уравнения \( x^4 + 4x^2 - 12 = 0 \) мы начнем с выполнения замены переменной, чтобы упростить уравнение. 1. **Подбор замены**: Заметим, что у нас есть \( x^2 \) в уравнении. Давайте обозначим: \[ y = x^2 \] Тогда \( y^2 = x^4 \). Подставляем это в уравнение: \[ y^2 + 4y - 12 = 0 \] 2. **Решение квадратного уравнения**: Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( y \). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -12 \). Подставим значения: \[ y = \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}}}{2 \cdot 1} \] Сначала вычислим дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \] Теперь подставим дискриминант обратно в формулу: \[ y = \frac{{-4 \pm \sqrt{64}}}{2} = \frac{{-4 \pm 8}}{2} \] Это дает нам два значения: \[ y_1 = \frac{{4}}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{{-12}}{2} = -6 \] 3. **Обратное преобразование**: Мы вернулись к переменной \( x \): - Для \( y_1 = 2 \): \[ x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \] - Для \( y_2 = -6 \): Поскольку \( x^2 \) не может быть отрицательным, это решение отбрасывается. 4. **Итоговые решения**: Таким образом, у нас есть два решения для уравнения: \[ x = \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{2} \] **Ответ**: \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \). Если у вас возникли вопросы по решению или необходимо более детальное объяснение какого-либо шага, не стесняйтесь спрашивать!