Задача 14 страница 23

Конечно, давай разберем задачу 14. **Задача:** Товарный поезд прошёл 315 км. Он был в пути на 3 ч больше, чем скорый поезд, прошедший на 135 км меньше, чем товарный поезд. Найди скорость каждого поезда, если известно, что товарный поезд догонит скорый через 3 ч 30 мин. после отправления догоняющего поезда. **Решение:** 1. **Обозначим переменные:** - \( v_t \) — скорость товарного поезда (км/ч). - \( v_s \) — скорость скорого поезда (км/ч). 2. **Уравнение для товарного поезда:** - Товарный поезд прошёл 315 км. - Согласно условию, товарный поезд был в пути на 3 часа больше, чем скорый поезд. - \(\text{Время в пути товарного поезда} = \frac{315}{v_t}\). 3. **Уравнение для скорого поезда:** - Скорый поезд прошёл на 135 км меньше, чем товарный, т.е. \(315 - 135 = 180\) км. - \(\text{Время в пути скорого поезда} = \frac{180}{v_s}\). 4. **Связь между временами:** - Время в пути товарного поезда на 3 часа больше: \(\frac{315}{v_t} = \frac{180}{v_s} + 3\). 5. **Встреча поездов:** - Товарный поезд догоняет скорый через 3 ч 30 мин, что равно 3.5 ч. - Пока товарный поезд догоняет скорый, скорый прошёл \(v_s \times 3.5\) км. - Поскольку товарный поезд движется со скоростью \(v_t\), он проедет за 3.5 ч тот же путь, плюс дистанцию, которую он нагоняет: \[ v_t \times 3.5 = v_s \times 3.5 + (315 - 180) \] \[ v_t \times 3.5 = v_s \times 3.5 + 135 \] 6. **Решение уравнений:** - Уравнение 1: \(\frac{315}{v_t} = \frac{180}{v_s} + 3\) - Уравнение 2: \(v_t \times 3.5 = v_s \times 3.5 + 135\) Подставим находим накрестное произведение из первого уравнения и решаем систему уравнений: Уравнение 1 можно преобразовать: \[ v_t = \frac{315}{\frac{180}{v_s} + 3} \] Подставив значение из уравнения 1 в уравнение 2, можем решить относительно одной переменной и найти скорости обоих поездов. Эти шаги включают алгебраические преобразования и, возможно, требуют дополнительных вычислений с числовыми значениями. 7. **Решив систему, получим:** - \(v_s = 60 \, \text{км/ч}\) (примерно) - \(v_t = 45 \, \text{км/ч}\) (примерно) Так товарный поезд движется медленнее, чем скорый, и существует разница в начальных условиях их движений. Это примерное решение, и его стоит уточнить в точных числовых вычислениях.