дана равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 9 см, в которую вписана окружность. найдтте площадь трапеции

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции с основаниями 1 см и 9 см, в которую вписана окружность, следуем следующему пошаговому процессу.

Шаг 1: Определим формулу площади трапеции

Площадь \( S \) трапеции можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где:

• \( a \) и \( b \) — длины оснований (в нашем случае \( a = 1 \) см и \( b = 9 \) см),
• \( h \) — высота трапеции.

Шаг 2: Найдем высоту трапеции

Так как трапеция равнобедренная и в нее вписана окружность, то её высота может быть также найдена с учетом радиуса окружности. Для равнобедренной трапеции с основаниями \( a \) и \( b \) и вписанной окружностью, также верна такая связь:

\[ h = r \cdot \frac{(b - a)}{2} \]

где \( r \) — радиус вписанной окружности. В равнобедренной трапеции радиус окружности \( r \) вычисляется по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) — площадь трапеции, а \( p \) — полупериметр.

Шаг 3: Найдем полупериметр

Полупериметр \( p \) равнобедренной трапеции можно выразить так:

\[ p = \frac{a + b + 2c}{2} \]

где \( c \) — длина боковой стороны. Если мы обозначим боковую сторону как \( c \), то окончательная формула для полупериметра будет:

\[ p = \frac{1 + 9 + 2c}{2} = \frac{10 + 2c}{2} = 5 + c \]

Шаг 4: Соотношение между основами и высотой

Так как у нас равнобедренная трапеция, можно провести высоты из точек верхнего основания к нижнему, делая два равнобедренных треугольника. Мы можем выразить высоту \( h \) через боковую сторону \( c \):

\[ c^2 = h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 = h^2 + \left(\frac{9 - 1}{2}\right)^2 = h^2 + 16 \]

Таким образом, нам необходимо найти значения \( h \) и \( c \) для окончательной области трапеции.

Шаг 5: Воспользуемся симметрией

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью высота \( h \) может быть выражена в зависимости от разности оснований \( b - a \):

\[ h = \frac{(b - a)}{2} \]

С подстановкой значений:

\[ h = \frac{(9 - 1)}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см} \]

Шаг 6: Подставляем значения в формулу площади

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления площади:

\[ S = \frac{(1 + 9) \cdot 4}{2} = \frac{10 \cdot 4}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}^2 \]

Заключение

Таким образом, площадь данной равнобедренной трапеции равна \( 20 \) см².