Найдите катеты прямоугольного треугольника если известно что их сумма равна 23 см а площадь данного треугольника равна 60 см²
Для решения этой задачи давайте воспользуемся известными задачами из геометрии, связанными с прямоугольными треугольниками.
Обозначим катеты: Пусть катеты треугольника будут \( a \) и \( b \).
Сумма катетов:
Согласно условию, их сумма равна 23 см: \[ a + b = 23 \]Площадь треугольника: Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] В данной задаче площадь равна 60 см²: \[ \frac{1}{2} \times a \times b = 60 \] Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ a \times b = 120 \]
Система уравнений: Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 23 \\ a \times b = 120 \end{cases} \]
Решение через подстановку:
Из первого уравнения выражаем \( b \): \[ b = 23 - a \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ a \times (23 - a) = 120 \] Раскроем скобки: \[ 23a - a^2 = 120 \] Переносим все в одну сторону: \[ a^2 - 23a + 120 = 0 \]Решение квадратного уравнения: Теперь необходимо решить квадратное уравнение: \[ a^2 - 23a + 120 = 0 \] Для этого используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -23 \), \( c = 120 \): \[ D = (-23)^2 - 4 \times 1 \times 120 = 529 - 480 = 49 \]
Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ a = \frac{23 \pm 7}{2} \] Вычислим корни: \[ a_1 = \frac{30}{2} = 15, \quad a_2 = \frac{16}{2} = 8 \] Таким образом, \( a = 15 \) см и \( b = 8 \) см (или наоборот).
Ответ: Katеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см.
Таким образом, мы нашли катеты прямоугольного треугольника \( 15 \) см и \( 8 \) см, увязав их с условиями задачи.
