Контрольная работа по теме: «Производная первообразная функция» Вариант-1 и 1. Найти производную: a) 3x2 - x3 б) 4x2 + 6x + 3 b) (3x2 + 1)(3x2 - 1) 2. Найти значение производной в точке Xo: y = 1 - 6x3, = 8 3. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 - 2x в точке хo = -2 a) y = 4x - 5 б) у = 9(7 + 3x) b) 5. Дана функция f(x) = 2x3 + 3х2 - 1. Найдите: 4. Найти первообразную функции в общем виде y = 0,5x + 2 - 0,2x4 a) промежутки возрастания и убывания функции; б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [- 1; 2]. 6. Напишите уравнение касательной к графику функции 7. f(x) = x3 + 3x2 - 2x + 2 в точке с абсциссой x0 = 1. Исследуйте функцию f(x) = x3 - 3х и постройте ее график

Давайте разберем задачу по шагам. Ваша контрольная работа охватывает несколько тем, связанные с производными и первообразными. Я подробно объясню решения каждой части, чтобы вы могли лучше понять материал. ### 1. Найти производную #### а) \(f(x) = 3x^2 - x^3\) Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования: \(\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}\). - Для \(3x^2\) производная будет: \(2 \cdot 3x^{2-1} = 6x\). - Для \(-x^3\) производная будет: \(-3x^{3-1} = -3x^2\). Следовательно, производная \(f'(x) = 6x - 3x^2\). #### б) \(f(x) = 4x^2 + 6x + 3\) - Для \(4x^2\): \(2 \cdot 4x^{2-1} = 8x\). - Для \(6x\): \(6\). - Для константы \(3\): \(0\). Итак, \(f'(x) = 8x + 6\). #### в) \(f(x) = (3x^2 + 1)(3x^2 - 1)\) Для нахождения производной используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\). - Пусть \(u = 3x^2 + 1\) и \(v = 3x^2 - 1\). - Находим \(u' = 6x\) и \(v' = 6x\). Теперь применим правило: \[ f'(x) = (6x)(3x^2 - 1) + (3x^2 + 1)(6x) = 6x(3x^2 - 1 + 3x^2 + 1) = 6x(6x^2) = 36x^3. \] ### 2. Найти значение производной в точке \(X_0\) Дана функция \(y = 1 - 6x^3\). Найдём производную: \[ y' = -18x^2. \] Теперь подставляем \(x_0 = 8\): \[ y'(8) = -18 \cdot 8^2 = -18 \cdot 64 = -1152. \] ### 3. Записать уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^2 - 2x\) в точке \(x_0 = -2\) Сначала находите значение функции и производной в точке \(x_0\): \[ f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8, \] \[ f'(-2) = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6. \] Теперь уравнение касательной имеет вид \(y - y_0 = m(x - x_0)\): \[ y - 8 = -6(x + 2). \] Приведем к явному виду: \[ y = -6x - 12 + 8 \implies y = -6x - 4. \] ### 4. Найти первообразную функции \(y = 0.5x + 2 - 0.2x^4\) Для нахождения первообразной используем правило интегрирования: \[ \int kx^n dx = \frac{kx^{n+1}}{n+1}. \] - Первообразная \(0.5x\) равна \(\frac{0.5x^2}{2} = 0.25x^2\). - Первообразная \(2\) равна \(2x\). - Первообразная \(-0.2x^4\) равна \(-0.2 \cdot \frac{x^5}{5} = -0.04x^5\). Итак, первообразная функции: \[ F(x) = 0.25x^2 + 2x - 0.04x^5 + C, \] где \(C\) — произвольная константа интегрирования. ### 5. Исследуйте функцию \(f(x) = x^3 - 3x\) и постройте ее график 1. Найдите производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1). \] 2. Найдите критические точки: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1, \quad x + 1 = 0 \implies x = -1. \] 3. Неопределённые интервалы: - Для \(x < -1\), \(f'(x) > 0\) (возрастает). - Для \(-1 < x < 1\), \(f'(x) < 0\) (убывает). - Для \(x > 1\), \(f'(x) > 0\) (возрастает). 4. Находим точки максимумов и минимумов с помощью второго производного теста: - \(f''(x) = 6x\). - \(f''(-1) = -6 < 0\) (максимум), \(f''(1) = 6 > 0\) (минимум). 5. Вычислите значения функции в критических точках: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 1 + 3 = 4, \quad f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2. \] ### Результат - Максимум в точке \((-1, 4)\). - Минимум в точке \((1, -2)\). - График будет представлять собой кубическую функцию, которая возрастает, достигает максимума, убывает, затем достигает минимума и вновь возрастает. Теперь у вас есть полное решение всех задач с объяснениями. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!