[[1/(x-y)+x=-1][x/(x-y)=-2]
Чтобы решить систему уравнений, давайте внимательнее взглянем на каждое из уравнений:
- \( \frac{1}{x-y} + x = -1 \)
- \( \frac{x}{x-y} = -2 \)
Шаг 1: Упростим первое уравнение
Начнем с первого уравнения:
\[ \frac{1}{x-y} + x = -1 \]
Переносим \( x \) на правую сторону:
\[ \frac{1}{x-y} = -1 - x \]
Теперь умножим обе стороны на \( x - y \) (при этом \( x - y \neq 0 \)), чтобы избавиться от дроби:
\[ 1 = (-1 - x)(x - y) \]
Раскроем скобки:
\[ 1 = - (x - y) - x(x - y) \]
Приведем подобные и упростим:
\[ 1 = -x + y - x^2 + xy \]
Таким образом, мы получили новое уравнение:
\[ x^2 - xy + x + y - 1 = 0 \tag{1} \]
Шаг 2: Упростим второе уравнение
Теперь рассмотрим второе уравнение:
\[ \frac{x}{x-y} = -2 \]
Переносим \( x - y \) на правую сторону:
\[ x = -2(x - y) \]
Раскрыв скобки и упростив, получаем:
\[ x = -2x + 2y \]
Соберем все \( x \) на одной стороне:
\[ x + 2x = 2y \]
Упростим это:
\[ 3x = 2y \implies y = \frac{3}{2}x \tag{2} \]
Шаг 3: Подставим (2) в (1)
Теперь подставим \( y = \frac{3}{2}x \) из уравнения (2) в уравнение (1):
\[ x^2 - x\left(\frac{3}{2}x\right) + x + \frac{3}{2}x - 1 = 0 \]
Упрощаем это уравнение:
\[ x^2 - \frac{3}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}x - 1 = 0 \]
Соберем подобные множители:
\[ \left(1 - \frac{3}{2}\right)x^2 + (1 + \frac{3}{2})x - 1 = 0 \]
\[ -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x - 1 = 0 \]
Умножим все уравнение на -2, чтобы избавиться от дробей:
\[ x^2 - 5x + 2 = 0 \]
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 5x + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(2) = 25 - 8 = 17 \]
Используем формулу для нахождения корней:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} \]
Шаг 5: Подставить значения x обратно для нахождения y
Теперь мы нашли значения \( x \): \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \]
Сначала найдем \( y \) для \( x_1 \):
\[ y_1 = \frac{3}{2}x_1 = \frac{3}{2}\cdot \frac{5 + \sqrt{17}}{2} = \frac{15 + 3\sqrt{17}}{4} \]
А теперь для \( x_2 \):
\[ y_2 = \frac{3}{2}x_2 = \frac{3}{2}\cdot \frac{5 - \sqrt{17}}{2} = \frac{15 - 3\sqrt{17}}{4} \]
Ответ
Таким образом, мы получили две пары значений \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \):
- \( \left( \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{15 + 3\sqrt{17}}{4} \right) \)
- \( \left( \frac{5 - \sqrt{17}}{2}, \frac{15 - 3\sqrt{17}}{4} \right) \)
Это финальные решения для данной системы уравнений.
