[[1/(x-y)+x=-1][x/(x-y)=-2]

Чтобы решить систему уравнений, давайте внимательнее взглянем на каждое из уравнений: 1. \( \frac{1}{x-y} + x = -1 \) 2. \( \frac{x}{x-y} = -2 \) ### Шаг 1: Упростим первое уравнение Начнем с первого уравнения: \[ \frac{1}{x-y} + x = -1 \] Переносим \( x \) на правую сторону: \[ \frac{1}{x-y} = -1 - x \] Теперь умножим обе стороны на \( x - y \) (при этом \( x - y \neq 0 \)), чтобы избавиться от дроби: \[ 1 = (-1 - x)(x - y) \] Раскроем скобки: \[ 1 = - (x - y) - x(x - y) \] Приведем подобные и упростим: \[ 1 = -x + y - x^2 + xy \] Таким образом, мы получили новое уравнение: \[ x^2 - xy + x + y - 1 = 0 \tag{1} \] ### Шаг 2: Упростим второе уравнение Теперь рассмотрим второе уравнение: \[ \frac{x}{x-y} = -2 \] Переносим \( x - y \) на правую сторону: \[ x = -2(x - y) \] Раскрыв скобки и упростив, получаем: \[ x = -2x + 2y \] Соберем все \( x \) на одной стороне: \[ x + 2x = 2y \] Упростим это: \[ 3x = 2y \implies y = \frac{3}{2}x \tag{2} \] ### Шаг 3: Подставим (2) в (1) Теперь подставим \( y = \frac{3}{2}x \) из уравнения (2) в уравнение (1): \[ x^2 - x\left(\frac{3}{2}x\right) + x + \frac{3}{2}x - 1 = 0 \] Упрощаем это уравнение: \[ x^2 - \frac{3}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}x - 1 = 0 \] Соберем подобные множители: \[ \left(1 - \frac{3}{2}\right)x^2 + (1 + \frac{3}{2})x - 1 = 0 \] \[ -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x - 1 = 0 \] Умножим все уравнение на -2, чтобы избавиться от дробей: \[ x^2 - 5x + 2 = 0 \] ### Шаг 4: Найдем корни уравнения Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 5x + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(2) = 25 - 8 = 17 \] Используем формулу для нахождения корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} \] ### Шаг 5: Подставить значения x обратно для нахождения y Теперь мы нашли значения \( x \): \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \] Сначала найдем \( y \) для \( x_1 \): \[ y_1 = \frac{3}{2}x_1 = \frac{3}{2}\cdot \frac{5 + \sqrt{17}}{2} = \frac{15 + 3\sqrt{17}}{4} \] А теперь для \( x_2 \): \[ y_2 = \frac{3}{2}x_2 = \frac{3}{2}\cdot \frac{5 - \sqrt{17}}{2} = \frac{15 - 3\sqrt{17}}{4} \] ### Ответ Таким образом, мы получили две пары значений \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): 1. \( \left( \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{15 + 3\sqrt{17}}{4} \right) \) 2. \( \left( \frac{5 - \sqrt{17}}{2}, \frac{15 - 3\sqrt{17}}{4} \right) \) Это финальные решения для данной системы уравнений.