.

Для решения этой задачи приведем каждую пару дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

а) \(\frac{7x}{12y}\) и \(\frac{5y}{8x}\)

Шаг 1: Найдите НОЗ.

Знаменатели дробей: \(12y\) и \(8x\).

1. Найдем НОК чисел 12 и 8:

   • \(12 = 2^2 \times 3\)
   • \(8 = 2^3\)
   • НОК(12, 8) = \(2^3 \times 3 = 24\).

2. Общие переменные в знаменателях: \(y\) и \(x\).

   • НОЗ = \(24xy\).

Шаг 2: Преобразуем дроби к общему знаменателю.

1. Первую дробь: \(\frac{7x}{12y}\).

   • Дополнительный множитель: \(\frac{24xy}{12y} = 2x\).
   • \(\frac{7x \cdot 2x}{12y \cdot 2x} = \frac{14x^2}{24xy}\).

2. Вторую дробь: \(\frac{5y}{8x}\).

   • Дополнительный множитель: \(\frac{24xy}{8x} = 3y\).
   • \(\frac{5y \cdot 3y}{8x \cdot 3y} = \frac{15y^2}{24xy}\).

Итог: \(\frac{7x}{12y} = \frac{14x^2}{24xy}\)

\(\frac{5y}{8x} = \frac{15y^2}{24xy}\)

в) \(\frac{m}{m+n}\) и \(\frac{n}{m-n}\)

Шаг 1: Найдите НОЗ.

Знаменатели: \(m+n\) и \(m-n\).

• НОЗ в данном случае будет произведением \((m+n)(m-n)\) (так как они друг друга не простые множители).

Шаг 2: Преобразуем дроби к общему знаменателю.

1. Первую дробь: \(\frac{m}{m+n}\).

   • Дополнительный множитель: \(\frac{(m+n)(m-n)}{m+n} = m-n\).
   • \(\frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{m^2-mn}{(m+n)(m-n)}\).

2. Вторую дробь: \(\frac{n}{m-n}\).

   • Дополнительный множитель: \(\frac{(m+n)(m-n)}{m-n} = m+n\).
   • \(\frac{n(m+n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{nm+n^2}{(m+n)(m-n)}\).

Итог: \(\frac{m}{m+n} = \frac{m^2-mn}{(m+n)(m-n)}\)

\(\frac{n}{m-n} = \frac{nm+n^2}{(m+n)(m-n)}\)

Теперь обе пары дробей приведены к наименьшему общему знаменателю.