Для решения данной задачи необходимо понять, как ток и нагрев зависят от сопротивлений элементов в электрической цепи.
Дано:
- Сопротивления: ( R_1 = R_2 = R ) и ( R_3 = 3R ).
- Нагреватель подключён к клеммам А и В с постоянным напряжением ( U ).
- Количество теплоты, выделяемое на ( R_1 ) за 15 секунд: ( Q_1 = 160 , \text{Дж} ).
Шаг 1: Определение общей информации о теплоты
Для понимания, как количество теплоты связано с током и сопротивлением, используем формулу:
[
Q = I^2 R t
]
где:
- ( Q ) — количество теплоты,
- ( I ) — ток в цепи,
- ( R ) — сопротивление,
- ( t ) — время.
Шаг 2: Найдем ток ( I ) в цепи
Так как ( Q_1 = 160 , \text{Дж} ) выделяется на сопротивлении ( R_1 ) за 15 секунд, можем выразить ток через это количество теплоты.
Время ( t_1 = 15 ) секунд. Подставим в формулу:
[
160 = I_1^2 R \cdot 15
]
Отсюда найдем ( I_1^2 ):
[
I_1^2 = \frac{160}{15R}
]
Шаг 3: Найдем ток на ( R_3 )
По правилам параллельного соединения одинаковых сопротивлений, ток делится на элементы:
- Ток, идущий в ( R_1 ) и ( R_2 ) будет одинаковым и равен ( I_1 ).
- Оба этих сопротивления находятся параллельно к общему сопротивлению ( R_3 ).
Общий ток ( I ) в цепи определяется следующим образом:
[
I = I_1 + I_3
]
где ( I_3 ) — ток, проходящий через ( R_3 ).
Так как ( R_3 = 3R ), я воспользуюсь соотношением:
[
U = I_1 R = I_3 (3R)
]
Шаг 4: Выражение для ( I_3 )
Отсюда:
[
I_1 = 3 I_3
]
Шаг 5: Общее количество теплоты на ( R_3 )
Мы знаем ( Q_3 ) для ( R_3 ):
[
Q_3 = I_3^2 \cdot (3R) \cdot t_3
]
где ( t_3 = 60 \text{ секунд} ) (количество времени, в течение которого необходимо вычислить теплоту).
Шаг 6: Подстановка значений
Подставим ( I_3 ) в зависимости от ( I_1 ):
[
Q_3 = I_3^2 \cdot (3R) \cdot 60
]
Заменим ( I_3 = \frac{I_1}{3} ):
[
Q_3 = \left(\frac{I_1}{3}\right)^2 \cdot (3R) \cdot 60
]
[
= \frac{I_1^2}{9} \cdot (3R) \cdot 60
]
[
= \frac{I_1^2 \cdot 20R}{3}
]
Шаг 7: Выражение через ( Q_1 )
У нас есть:
[
Q_1 = I_1^2 R \cdot 15 = 160
]
отсюда ( I_1^2 R = \frac{160}{15} ). Подставим это:
[
Q_3 = \frac{(160 / 15) \cdot 20}{3}
]
[
= \frac{3200}{45}
]
[
= \frac{3200}{45} \approx 71.11 , \text{Дж}
]
Таким образом, количество теплоты ( Q_3 ), выделяющееся на сопротивлении ( R_3 ) за 1 минуту, составляет примерно 71.11 Дж.
