Решить по методу гауса
Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса преобразуем систему к треугольному виду, а затем решим её обратным ходом. Данная система:
\[ \begin{cases} 3x + 2y + z = 3 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x - y - 4z = -4 \end{cases} \]
Шаг 1: Преобразование к треугольному виду
Начнём с первого уравнения и попробуем исключить переменную \(x\) из второго и третьего уравнений:
Умножим первое уравнение на \( \frac{2}{3} \) и вычтем из второго: \[ \left(2x - y + 3z\right) - \frac{2}{3}(3x + 2y + z) = 9 - \frac{2}{3} \times 3 \] \[ (2x - y + 3z) - (2x + \frac{4}{3}y + \frac{2}{3}z) = 9 - 2 \] \[ -\frac{7}{3} y + \frac{7}{3} z = 7 \quad \Rightarrow \quad -7y + 7z = 21 \quad \Rightarrow \quad y - z = -3 \]
Умножим первое уравнение на \(1\) и вычтем из третьего: \[ \left(3x - y - 4z\right) - \left(3x + 2y + z\right) = -4 - 3 \] \[ -3y - 5z = -7 \]
Теперь система выглядит так: \[ \begin{cases} 3x + 2y + z = 3 \\ y - z = -3 \\ -3y - 5z = -7 \end{cases} \]
Шаг 2: Решение системой
Решим второе уравнение относительно \(y\): \[ y = z - 3 \]
Подставим \(y = z - 3\) в третье уравнение: \[ -3(z - 3) - 5z = -7 \] \[ -3z + 9 - 5z = -7 \] \[ -8z = -16 \quad \Rightarrow \quad z = 2 \]
Теперь найдём \(y\): \[ y = z - 3 = 2 - 3 = -1 \]
Теперь подставим \(y\) и \(z\) в первое уравнение, чтобы найти \(x\): \[ 3x + 2(-1) + 2 = 3 \] \[ 3x - 2 + 2 = 3 \] \[ 3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Ответ: \[ x = 1, \quad y = -1, \quad z = 2 \]
