(x+6)(x-11)≥0

Для решения неравенства \((x+6)(x-11) \geq 0\) мы будем следовать пошаговому процессу.

Шаг 1: Определение корней

Сначала найдем корни произведения. Мы ищем значения \(x\), при которых \((x+6)(x-11) = 0\).

1. \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\)
2. \(x - 11 = 0 \Rightarrow x = 11\)

Таким образом, корни неравенства: \(x = -6\) и \(x = 11\).

Шаг 2: Построение числовой прямой и тестирование интервалов

Теперь, чтобы решить неравенство, мы разделим числовую прямую на интервалы с учетом найденных корней:

• Интервал 1: \((-∞, -6)\)
• Интервал 2: \([-6, 11]\)
• Интервал 3: \((11, +∞)\)

Шаг 3: Определение знака на каждом интервале

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в произведение \((x+6)(x-11)\):

1. Интервал 1: \((-∞, -6)\)
   Тестовая точка: \(x = -7\)
   \[ (-7 + 6)(-7 - 11) = (-1)(-18) = 18 > 0 \]

2. Интервал 2: \([-6, 11]\)
   Тестовая точка: \(x = 0\)
   \[ (0 + 6)(0 - 11) = (6)(-11) = -66 < 0 \]

3. Интервал 3: \((11, +∞)\)
   Тестовая точка: \(x = 12\)
   \[ (12 + 6)(12 - 11) = (18)(1) = 18 > 0 \]

Шаг 4: Составление окончательного решения

Теперь мы знаем, что:

• На интервале \((-∞, -6)\) знак положительный.
• На интервале \([-6, 11]\) знак отрицательный.
• На интервале \((11, +∞)\) знак положительный.

Также учитываем, что в самом неравенстве \(\geq 0\), поэтому нам нужны те интервалы, где выражение положительное или равняется нулю.

1. Включаем границы: \(-6\) и \(11\) так как они дают ноль:
   • \((x + 6)(x - 11) = 0\) при \(x = -6\) и \(x = 11\).

Таким образом, ответ будет:

\[ x \in (-\infty, -6] \cup [11, +\infty) \]

Итоговое решение

Неравенство \((x+6)(x-11) \geq 0\) выполняется при \(x \in (-\infty, -6] \cup [11, +\infty)\).