представьте в виде многочлена выражение (5x-2)³ ; (a⁴n+b²n)³
Чтобы представить данные выражения в виде многочленов, нам нужно использовать формулу бинома Ньютона, которую можно записать следующим образом:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
Где \(\binom{n}{k}\) — коэффициенты биномиального разложения, которые можно вычислить по формуле:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Рассмотрим каждое выражение по очереди.
1. Раскроем \((5x - 2)^3\)
Применяя формулу бинома Ньютона:
- Пусть \(a = 5x\) и \(b = -2\), а \(n = 3\).
- Нам нужно вычислить \((5x - 2)^3\):
\[ (5x - 2)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (5x)^{3-k} (-2)^k \]
Теперь будем подставлять значения \(k = 0, 1, 2, 3\):
Для \(k = 0\): \[ \binom{3}{0} (5x)^{3} (-2)^{0} = 1 \cdot (5x)^3 \cdot 1 = 125x^3 \]
Для \(k = 1\): \[ \binom{3}{1} (5x)^{2} (-2)^{1} = 3 \cdot (5x)^2 \cdot (-2) = 3 \cdot 25x^2 \cdot (-2) = -150x^2 \]
Для \(k = 2\): \[ \binom{3}{2} (5x)^{1} (-2)^{2} = 3 \cdot (5x)^{1} \cdot 4 = 3 \cdot 5x \cdot 4 = 60x \]
Для \(k = 3\): \[ \binom{3}{3} (5x)^{0} (-2)^{3} = 1 \cdot 1 \cdot (-8) = -8 \]
Теперь суммируем все слагаемые:
\[ (5x - 2)^3 = 125x^3 - 150x^2 + 60x - 8 \]
2. Раскроем \((a^4n + b^2n)^3\)
Аналогично, пусть \(a = a^4n\) и \(b = b^2n\), и \(n = 3\):
\[ (a^4n + b^2n)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (a^4n)^{3-k} (b^2n)^k \]
Теперь подставим значения \(k = 0, 1, 2, 3\):
Для \(k = 0\): \[ \binom{3}{0} (a^4n)^{3} (b^2n)^{0} = 1 \cdot (a^4n)^3 \cdot 1 = a^{12}n^3 \]
Для \(k = 1\): \[ \binom{3}{1} (a^4n)^{2} (b^2n)^{1} = 3 \cdot (a^4n)^{2} \cdot (b^2n) = 3a^8n^2b^2n = 3a^8b^2n^3 \]
Для \(k = 2\): \[ \binom{3}{2} (a^4n)^{1} (b^2n)^{2} = 3 \cdot (a^4n) \cdot (b^2n)^2 = 3a^4n \cdot b^4n^2 = 3a^4b^4n^3 \]
Для \(k = 3\): \[ \binom{3}{3} (a^4n)^{0} (b^2n)^{3} = 1 \cdot 1 \cdot (b^2n)^3 = b^6n^3 \]
Теперь суммируем все слагаемые:
\[ (a^4n + b^2n)^3 = a^{12}n^3 + 3a^8b^2n^3 + 3a^4b^4n^3 + b^6n^3 \]
Можно вынести \(n^3\) за скобки:
\[ = n^3 \left( a^{12} + 3a^8b^2 + 3a^4b^4 + b^6 \right) \]
Итоги
Таким образом, мы получили два многочлена:
- \((5x - 2)^3 = 125x^3 - 150x^2 + 60x - 8\)
- \((a^4n + b^2n)^3 = n^3 \left( a^{12} + 3a^8b^2 + 3a^4b^4 + b^6 \right)\)
