- Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как ( v ) км/ч.
Скорость теплохода по течению: ( v + 3 ) км/ч
Скорость теплохода против течения: ( v - 3 ) км/ч
Время, затраченное на путь по течению:
[
t_1 = \frac{54}{v + 3}
]
Время, затраченное на путь против течения:
[
t_2 = \frac{42}{v - 3}
]
Общее время в пути равно 4 часам:
[
t_1 + t_2 = 4
]
Подставим полученные выражения:
[
\frac{54}{v + 3} + \frac{42}{v - 3} = 4
]
Умножим уравнение на ((v + 3)(v - 3)) для избавления от дробей:
[
54(v - 3) + 42(v + 3) = 4(v + 3)(v - 3)
]
Раскроем скобки:
[
54v - 162 + 42v + 126 = 4(v^2 - 9)
]
Соберем все в одно уравнение:
[
96v - 36 = 4v^2 - 36
]
[
4v^2 - 96v = 0
]
[
4v(v - 24) = 0
]
Таким образом, ( v = 0 ) (неприменимо, поскольку скорость не может быть нулевой) или ( v = 24 ).
Скорость теплохода в стоячей воде равна 24 км/ч.
- Обозначим скорость велосипеда как ( v ) км/ч. Значит, скорость мотоцикла будет ( v + 10 ) км/ч.
Время, затраченное Пашой (велосипед):
[
t_P = \frac{40}{v}
]
Время, затраченное Сашей (мотоцикл):
[
t_S = \frac{40}{v + 10}
]
Саша приехал на 2 часа раньше Паши:
[
t_P - t_S = 2
]
Подставим выражения:
[
\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = 2
]
Умножим уравнение на ( v(v + 10) ):
[
40(v + 10) - 40v = 2v(v + 10)
]
[
400 = 2v^2 + 20v
]
[
2v^2 + 20v - 400 = 0
]
Упростим уравнение, разделив его на 2:
[
v^2 + 10v - 200 = 0
]
Решим квадратное уравнение с помощью формулы:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1, b = 10, c = -200 ):
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200)}}{2 \cdot 1}
]
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm 30}{2}
]
Получим два значения:
- ( v = \frac{20}{2} = 10 ) км/ч (скорость велосипеда).
- ( v = \frac{-40}{2} = -20 ) (неприменимо, скорость не может быть отрицательной).
Таким образом:
- Скорость Паши (велосипед) = 10 км/ч.
- Скорость Саши (мотоцикл) = 10 + 10 = 20 км/ч.
