Решите уравнение: 8. 9. Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения…

9. Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как \( v \) км/ч.

Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч
Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч

Время, затраченное на путь по течению:
\[ t_1 = \frac{54}{v + 3} \]
Время, затраченное на путь против течения:
\[ t_2 = \frac{42}{v - 3} \]

Общее время в пути равно 4 часам:
\[ t_1 + t_2 = 4 \]

Подставим полученные выражения:
\[ \frac{54}{v + 3} + \frac{42}{v - 3} = 4 \]

Умножим уравнение на \((v + 3)(v - 3)\) для избавления от дробей:
\[ 54(v - 3) + 42(v + 3) = 4(v + 3)(v - 3) \]

Раскроем скобки:
\[ 54v - 162 + 42v + 126 = 4(v^2 - 9) \]

Соберем все в одно уравнение:
\[ 96v - 36 = 4v^2 - 36 \]
\[ 4v^2 - 96v = 0 \]
\[ 4v(v - 24) = 0 \]

Таким образом, \( v = 0 \) (неприменимо, поскольку скорость не может быть нулевой) или \( v = 24 \).

Скорость теплохода в стоячей воде равна 24 км/ч.

10. Обозначим скорость велосипеда как \( v \) км/ч. Значит, скорость мотоцикла будет \( v + 10 \) км/ч.

Время, затраченное Пашой (велосипед):
\[ t_P = \frac{40}{v} \]
Время, затраченное Сашей (мотоцикл):
\[ t_S = \frac{40}{v + 10} \]

Саша приехал на 2 часа раньше Паши:
\[ t_P - t_S = 2 \]

Подставим выражения:
\[ \frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = 2 \]

Умножим уравнение на \( v(v + 10) \):
\[ 40(v + 10) - 40v = 2v(v + 10) \]
\[ 400 = 2v^2 + 20v \]
\[ 2v^2 + 20v - 400 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив его на 2:
\[ v^2 + 10v - 200 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью формулы: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1, b = 10, c = -200 \):
\[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200)}}{2 \cdot 1} \]
\[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2} \]
\[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2} \]
\[ v = \frac{-10 \pm 30}{2} \]

Получим два значения:

1. \( v = \frac{20}{2} = 10 \) км/ч (скорость велосипеда).
2. \( v = \frac{-40}{2} = -20 \) (неприменимо, скорость не может быть отрицательной).

Таким образом:

• Скорость Паши (велосипед) = 10 км/ч.
• Скорость Саши (мотоцикл) = 10 + 10 = 20 км/ч.